張秋平

求范圍問(wèn)題是高考常考的熱門(mén)題型之一，常用的方法有分離法，圖像法，解不等式法，討論法，其中討論法難掌握，什么時(shí)候用，怎么用，一直困擾著老師和學(xué)生，本文就近年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的范圍問(wèn)題怎么用進(jìn)行一些探討。

一、由極值的正、負(fù)，零及范圍討論

1.【2017課標(biāo)1，理21】已知函數(shù)f（x）=ae2x+ （a-2）ex-x

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】：（1）的定義域?yàn)?，?/p>

（ⅰ）若則，則，所以在單調(diào)遞減.

（ⅱ）若a>0，則由得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）若a>0，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.

①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，即.

又，故在有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)正整數(shù)滿足，則.

由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，的取值范圍為.

此方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、最值，對(duì)最值的范圍進(jìn)行研究。

2.【2015高考新課標(biāo)課標(biāo)2，理21】設(shè)函數(shù) f（x）=emx+x2-mx。

（I）證明： f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（II）若對(duì)于任意x1，x2∈[-11]，都有|f（x1）- f（x2）|≤e-1，

求m的取值范圍。

解析：（I）f '（x）=m（emx-1）+2x，

若m≥0，則當(dāng)x∈（-∞，0），emx-1≤0，f '（x）<0

當(dāng)x∈（0，+∞），emx-1≥0，f '（x）>0

若m<0，則當(dāng)x∈（-∞，0）emx-1>0，f '（x）<0

當(dāng)x∈（0，+∞），emx-1<0（x）>0

所以，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

（II）由（I）知，對(duì)任意的f（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在 [0， 1]單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值，所以對(duì)于任意x1，x2∈[-1，1]，

|f（x1）- f（x2）|≤e-1的充要條件是

設(shè)函數(shù)，則g‘（t）=et-1。當(dāng)t<0時(shí)，g‘（t）>0。；當(dāng)t>0時(shí)，g‘（t）>0。故在g（t）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0故當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，g（t）≤0.當(dāng)m∈ [-1，1]時(shí)，g（m）≤0，g（-m）≤0即①式成立。當(dāng)m>1時(shí)，由，g（t）的單調(diào)性，g（m）>0即em-m>e-1當(dāng)m<-1時(shí)，g（-m）>0，即em+m>e-1。綜上，m的取值范圍是[-1，1]。

二、由單調(diào)性分類

3.【2006全國(guó)，理21】已知函數(shù)。

（I）a>0設(shè)，討論y=f（x）的單調(diào)性；

（II）若對(duì)任意x∈（0，，1），恒有f（x）>1，求a的取值范圍。

解析：（I）f（x）解略的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），對(duì)求導(dǎo)數(shù)得f（x）在（-∞，），（，1），（1，+∞）為增函數(shù)，f（x）在（-，）為減函數(shù)。

（II）（i）當(dāng)0f（0）=1。

（ii）a>2當(dāng)時(shí)，取，則由（I）知f（x0）>f（0）=1。

（iii）

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）>1。

4.【2011新課標(biāo)，理21】已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值

（2）如果當(dāng)x>0，且時(shí)x≠1，，求k的取值范圍。

【解析】：（1）解略 a=1

b=1。

（2）（理）由（1）知，

考慮函數(shù)，

（i）設(shè).由

知，當(dāng)x≠1時(shí)，h（x）<0而h（1）=0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）>0

可得，從而當(dāng)x>0.，且x≠1時(shí)

（ii）設(shè)00，而h（1）=0，故當(dāng)，可得，與題設(shè)矛盾。

（iii）當(dāng)k≥1時(shí)，h（x）>0而h（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）>0，與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]。

三、由必要性分類

5.【2012全國(guó)，理20】設(shè)函數(shù)

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

【解析】（1）解略。

（2）由f（x）≤1+sinx得，f（π）≤1，aπ-1≤1

所以.

令

當(dāng)

。

又，即，當(dāng)時(shí)，有

①當(dāng)

②當(dāng)

綜上，a的取值范圍是].

通過(guò)取特殊值得出所求范圍，證明此范圍是所求范圍，其他范圍不滿足條件。

四、由極值點(diǎn)落不落在定義域分類

6.【2012天津，理20】已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0。

（1）求a的值；

（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；

【解析】：（1）解略

（2）當(dāng)k≤0，取x=1，有f（1）=1-ln2>0，故k≥0不合題意。

當(dāng)k>0時(shí)，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln.（x+1） -kx2

⑴

因此g（x）.在（0，+∞）上單調(diào)遞減。從而對(duì)于任意的x∈（0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，即f（x）≤kx2在【0，+∞）上恒成立，故符合題意。

②當(dāng)，