劉金勇　劉成龍

函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)的重要組成部分，是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題主要涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力要求較高.該類(lèi)試題往往還蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想.比如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等.同時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題是數(shù)學(xué)上的“孿生兄弟”.函數(shù)零點(diǎn)的表征形式除函數(shù)外，還有方程和圖像交點(diǎn)的視角.因此，函數(shù)零點(diǎn)的高考命題視角較寬.本文擬對(duì)2017年高考中的函數(shù)零點(diǎn)試題進(jìn)行分類(lèi)解析.

類(lèi)型一：求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【例1】 （2017年江蘇卷理14）設(shè)[f（x）]是定義在[R]上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[[0 ，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，其中集合[D=x|x=n-1n，n∈N*]，則方程[f（x）-lgx=0]的解的個(gè)數(shù)是 .

解： 因在區(qū)間[[0，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又[f（x）]是定義在[R]上且周期為1的函數(shù)，所以在區(qū)間[1，2]上，[f（x）=（x-1）2，x∈Dx-1，x?D]，此時(shí)，[f（x）]的圖像與[y=lgx]有且只有一個(gè)交點(diǎn)；同理，在區(qū)間[2，3]、[3，4]、[4，5]、[5，6]、[6，7]、[7，8]、[8，9]上，[f（x）]的圖像與[y=lgx]有且只有各一個(gè)交點(diǎn)，共8個(gè)，如圖1所示.在區(qū)間[9，+∞]上，[f（x）]的圖像與[y=lgx]無(wú)交點(diǎn)，故[f（x）]的圖像與[y=lgx]有8個(gè)交點(diǎn)，即方程[f（x）-lgx=0]的解的個(gè)數(shù)是8.

【評(píng)注】2017年高考直接求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的試題沒(méi)有，而是以方程解的個(gè)數(shù)方式呈現(xiàn).解答本例的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的大致圖像.本例考查了學(xué)生繪圖、識(shí)圖、用圖的能力.

類(lèi)型二： 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（或值）

【例2】 （2017年全國(guó)卷Ⅲ理11）已知函數(shù)[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零點(diǎn)，則[a]的值為（ ）.

A. [-12] B. [13] C. [12] D. [1]

解： 因?yàn)閇f（2-x）=f（x）]，所以[f（x）]的對(duì)稱軸為[x=1].又因?yàn)閇f（x）]有唯一零點(diǎn)，所以零點(diǎn)只能為[x=1]，即[f（1）=-1+2a=0]，解得[a=12].

【評(píng)注】本例的解答方法很多.比如：求導(dǎo)法、放縮法等.上述解法抓住“[f（x）]關(guān)于[x=1]對(duì)稱，且零點(diǎn)唯一”這一要點(diǎn)，減少了煩瑣的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的“多想少算”.

【例3】 （2017年山東卷理10）已知當(dāng)[x∈[0，1]]時(shí)，函數(shù)[y=（mx-1）2]的圖像與[y=x+m]的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是（ ）.

A. [（0，1]?[23，+∞）] B. [（0，1]?[3，+∞）]

C.[ （0，2]?[23，+∞）] D.[ 0，2?3，+∞]

解：[y=（mx-1）2=][m2（x-1m）2]的圖像可以看成[y=x2]圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移[1m]個(gè)單位；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)閇m2]倍.[y=x+m]的圖像可以看成[y=x]向上平移[m]個(gè)單位.

[①]若[0

[②]若[m>1]，則[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的大致圖像如圖3所示，為使[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的圖像在[x∈[0，1]]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，需要[（m-1）2≥1+m]，即[m2-3m≥0]，解得[m≤0]或[m≥3]，所以[m≥3].

綜上所述，[m∈][（0，1]?[3，+∞）].

【評(píng)注】解答本例的關(guān)鍵是對(duì)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)中臨界位置[m=1]的識(shí)別.事實(shí)上，[x=0]時(shí)，有[y=1]和[y=m]，可以看出[m=1]時(shí)，兩函數(shù)剛好有交點(diǎn).

類(lèi)型三： 已知函數(shù)零點(diǎn)分布證明不等式

【例4】 （2017年天津卷理20）設(shè)[a∈Z]，已知定義在[R]上的函數(shù)[f（x）=2x4+3x3-3x2][-6x+a]，在區(qū)間[1，2]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)[x0]，[g（x）]為[f（x）]的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）求[g（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)[m∈1，x0?x0，2]，函數(shù)[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）].求證：[h（m）?h（x0）<0]；

（Ⅲ）略.

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）]，得[h（m）=g（m）（m-x0）-f（m）]，

[h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）].

令[H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x）]，

[H′1（x）=g′（x）（x-x0）]， 由（Ⅰ）知，當(dāng)[x∈1 ，2]時(shí)， [g′（x）>0].故當(dāng)[x∈1，x0]時(shí)，[H′1（x）<0]，[H1（x）]單調(diào)遞減；當(dāng)[x∈x0，2]時(shí)，[H′1（x）>0]，[H1（x）]單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)[x∈1， x0 ? x0， 2] 時(shí)，[ H1（x）>H1（x0）=-f（x0）=0]，[H1（m）>0]，即[h（m）>0].

令[H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x）]，則[H′2（x）=g（x0）-g（x）]，由（Ⅰ）知，[g（x）]在[1，2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)[x∈1，x0]時(shí)，[H′2（x）>0]，[H2（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈x0，2]時(shí)，[H′2（x）<0]，[H2（x）]單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)[x∈1，x0?x0，2]時(shí)，[H2（x）

綜上，[h（m）?h（x0）<0]得證.

[評(píng)注]本題主要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，區(qū)分度明顯.本例中函數(shù)零點(diǎn)的功能為[f（x0）=0].

類(lèi)型四： 函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題

【例5】 （2017年江蘇卷理20）已知函數(shù)[f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）]有極值，且導(dǎo)函數(shù)[f ′（x）]的極值點(diǎn)是[f（x）]的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

（Ⅰ）求[b]關(guān)于[a]的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（Ⅱ）證明：[b2>3a]；

（Ⅲ）若[f（x）]，[f ′（x）]這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于[-72]，求[a]的取值范圍.

解：（Ⅰ）由[f（x）=x3+ax2+bx+1]，得[f ′（x）=3x2+2ax+b=3（x+a3）2+b-a23].

當(dāng)[x=-a3]時(shí)，[f ′（x）]有極小值[b-a23].因?yàn)閇f ′（x）]的極值點(diǎn)是[f（x）]的零點(diǎn).所以[f（-a3）=-a327+a39-ab3+1=0]，又[a>0]，故[b=2a29+3a].因?yàn)閇f（x）]有極值，故[f ′（x）=0]有實(shí)根，從而[b-a23=19a（27-a3）≤0]，即[a≥3].

當(dāng)[a=3]時(shí)，[f ′（x）>0（x≠-1）]，故[f（x）]在[R]上是增函數(shù)，[f（x）]沒(méi)有極值；

當(dāng)[a>3]時(shí)，[f ′（x）=0]有兩個(gè)相異的實(shí)根[x1=-a-a2-3b3]，[x2=-a+a2-3b3].

列表如下

[[x] [（-∞，x1）] [x1] [（x1，x2）] [x2] [（x2，+∞）] [f ′（x）] + 0 – 0 + [f（x）] 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 ]

故[f（x）]的極值點(diǎn)是[x1，x2]，從而[a>3]，因此[b=2a29+3a]，定義域?yàn)閇（3，+∞）].

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，[f（x）]的極值點(diǎn)是[x1，x2]，且[x1+x2=-23a]，[x21+x22=4a2-6b9].

從而[f（x1）+f（x2）=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=][x13（3x21+2ax1+b）+][x23（3x22+2ax2+b）+13a（x21+x22）+23b（x1+x2）+2][=4a3-6ab27-4ab9+2=0].

記[f（x）]，[f ′（x）]所有極值之和為[h（a）]，因?yàn)閇f ′（x）]的極值為[b-a23=-19a2+3a]，所以[h（a）=-19a2+3a]，[a>3].因?yàn)閇h′（a）=-29a-3a2<0]，于是[h（a）]在[（3，+∞）]上單調(diào)遞減.

因?yàn)閇h（6）=-72]，于是[h（a）≥h（6）]，故[a≤6].因此[a]的取值范圍為[（3，6]].

【評(píng)注】本例主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn)等綜合問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力.零點(diǎn)在本例中的功能為提供[f（-a3）=0]這一條件.

文中對(duì)2017年高考理科數(shù)學(xué)中函數(shù)零點(diǎn)試題的四種題型做出了分析，希望對(duì)讀者有所幫助.