張玩樂 王小虎 張志健

北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038

現(xiàn)代航空器具有結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕、長細(xì)比大等特點(diǎn)，使得航空器的彈性振型頻率低且彈性偏差大，彈性振動頻率與控制系統(tǒng)頻帶接近，導(dǎo)致姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)面臨極大困難[1-2]。因此，抑制結(jié)構(gòu)振動是彈性航空器控制系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)。

工程中廣泛應(yīng)用固定參數(shù)的陷波器進(jìn)行彈性振動抑制[3]。然而，在振型頻率離控制系統(tǒng)頻率比較近且幅值穩(wěn)定有困難時(shí)，采用陷波方法濾除所有可能的彈性頻段信息，將導(dǎo)致系統(tǒng)相位滯后非常嚴(yán)重，對系統(tǒng)動態(tài)性能不利。因此，當(dāng)彈性振動頻率較低時(shí)，為了減小相位滯后，往往采用相位穩(wěn)定方法。但相位穩(wěn)定需對控制系統(tǒng)進(jìn)行精確建模，當(dāng)彈性振動不確定性較大時(shí)，無法進(jìn)行精確建模，很難進(jìn)行相位穩(wěn)定分析。

為適應(yīng)現(xiàn)代航空器具有彈性振型頻率低、變化范圍大和不確定性高等特點(diǎn)，需開展彈性振動的自適應(yīng)抑制技術(shù)。根據(jù)是否需要在線辨識彈性振型頻率，可將自適應(yīng)技術(shù)分為2大類:1)在線辨識彈性振型頻率并據(jù)此在線調(diào)整陷波器的中心頻率，以實(shí)現(xiàn)彈性振動抑制[4-8]；2)將估計(jì)算法直接應(yīng)用于濾波器系數(shù)的更新[9-12]。對這2類方法具體的分類如表1所示。

表1 自適應(yīng)陷波方法分類

注：DFT和IpDFT分別指離散傅里葉變換、插值離散傅里葉變換；LMS，RLS和SMM分別指最小均方算法、遞推最小二乘算法和Steiglitz-McBride算法。

針對已有方法的不足，提出基于小波變換與奇異值分解(WT&SVD)的自適應(yīng)陷波方法，先采用WT&SVD法估計(jì)出彈性信號頻率，而后據(jù)此調(diào)整陷波器參數(shù)，實(shí)現(xiàn)彈性振動抑制。該方法靈敏度高、辨識速度快且彈性抑制效果好。

1 彈性航空器建模

以俯仰通道為例，考慮兩階彈性振型，忽略質(zhì)心運(yùn)動，將彈性振動對姿態(tài)角運(yùn)動的影響視為干擾力，則彈性航空器在“小擾動”假設(shè)下的微分方程如式(1)所示

(1)

控制系統(tǒng)采用PD控制，若將執(zhí)行機(jī)構(gòu)傳遞函數(shù)視為常數(shù)，則控制指令可表示為

(2)

2 彈性振動自適應(yīng)陷波濾波方法實(shí)現(xiàn)

以俯仰通道為例，本文彈性自適應(yīng)陷波系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。自適應(yīng)陷波器如圖中虛線框所示，包含2部分：1)彈性振型頻率辨識，基于WT&SVD法實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)；2)可調(diào)陷波器，根據(jù)彈性頻率辨識結(jié)果，在線調(diào)整陷波器中心頻率，從而濾除彈性振動。

圖1 彈性自適應(yīng)陷波結(jié)構(gòu)框圖

使用自適應(yīng)陷波濾波器抑制彈性振動，存在一個(gè)互相矛盾的問題：一方面，必須激發(fā)彈性振型獲取彈性振型信息以實(shí)現(xiàn)陷波器“自適應(yīng)”調(diào)整；另一方面，其自適應(yīng)濾波器的作用又阻止該振動信號的產(chǎn)生。自適應(yīng)陷波方法很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)“彈性的完全抑制”和“陷波器參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整”。因?yàn)?，若彈性振動完全被抑制，則控制系統(tǒng)失去辨識結(jié)構(gòu)振動特性的信息。此時(shí)，若“自適應(yīng)”方法太過靈敏，會使頻率接近彈性振型的干擾信號被當(dāng)作彈性振型，導(dǎo)致濾波器參數(shù)調(diào)整錯(cuò)誤，不能有效抑制彈性；若“自適應(yīng)”方法不靈敏，又會使自適應(yīng)方法不能有效感知彈性振動信息的變化，難以避免彈性被激發(fā)。因此，自適應(yīng)陷波器的靈敏度、快速性及魯棒性這3個(gè)方面的要求需要重點(diǎn)關(guān)注。

2.1 基于小波變換辨識彈性振型原理分析

2.1.1 小波變換

信號x(t)的連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform, CWT)為

(3)

2.1.2 尺度圖

由于小波變換的結(jié)果WTx(a,b)不是能量分布，故無法由其直接估計(jì)出信號的頻率，而信號小波變換的幅平方，即信號的尺度圖，如式(4)所示

(4)

Morlet小波對振動信號在頻域和時(shí)域具有清晰的描述，因此本文采用Morlet小波，作為基小波,它是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)。表達(dá)式如下所示

ψ(t)=e-t2/2ej2πf0t

(5)

式中，f0是小波的中心頻率；ψ(t)的傅里葉變換為

(6)

則ψa,b(f)的傅里葉變換為

(7)

當(dāng)a=f0/f時(shí)，頻譜達(dá)到峰值。

取小波函數(shù)中心頻率ω0=5rad/s,對頻率為ω=125rad/s，幅值為1的正弦信號x(t)計(jì)算其尺度圖，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 信號x(t)的尺度圖

從圖2可知，當(dāng)a=ω0/ω≈0.04時(shí)，在尺度圖上對應(yīng)的幅值最大，可據(jù)此估計(jì)出信號頻率。

2.1.3 奇異值分解

通常為了降低噪聲對信號頻率估計(jì)的影響，可對尺度圖進(jìn)行奇異值分解，將尺度圖中與信號對應(yīng)的能量分布圖像提取出來，再進(jìn)行信號頻率識別，能有效提高估計(jì)頻率精度[13]。上述a,b和t都是連續(xù)變量，實(shí)際計(jì)算中，要將它們進(jìn)行離散化，設(shè)尺度a取值的點(diǎn)數(shù)為K，取時(shí)移因子b的點(diǎn)數(shù)為N1，離散后的小波函數(shù)長度為N，由多個(gè)彈性振型組成的彈性信號離散后長度為(N+N1-1)，則尺度圖是一個(gè)K×N1階的矩陣Q，秩為r，則Q的奇異值分解為

(8)

2.1.4 辨識頻率

辨識出的彈性振型頻率為

(9)

為了說明WT&SVD法辨識頻率精度，進(jìn)行Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，對幅值為A=1，頻率為f=10Hz的正弦信號進(jìn)行頻率辨識，采樣頻率為200Hz，單次辨識頻率所需數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N=100，仿真次數(shù)為1000次。圖3為頻率辨識均方根誤差( RMSE) 隨信噪比變化的曲線。

從圖3可看出，在不同信噪比下，基于小波變換法辨識頻率接近克拉美羅下界(CLRB)，對10次辨識結(jié)果求均值后，RMSE更小，信噪比為5dB時(shí)，RMSE為0.0689Hz，40dB時(shí)為0.0016Hz。增加單次辨識數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，可提高頻率辨識精度，但同時(shí)也會增加計(jì)算量。因此，要根據(jù)實(shí)際情況選擇合理的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

雖然彈性航空器的振動頻率和幅值都是時(shí)變的，但在很短的時(shí)間內(nèi)，可假設(shè)振動頻率和幅值的變化都很小，近似于正弦信號。于是，頻率相近的兩階彈性振動信號可表示如下：

(10)

其中,Ai,fi,φi分別為彈性振型的幅值、頻率和初始相位；fs為采樣頻率(單位Hz)；ω(n)為高斯白噪聲。

圖3 頻率估計(jì)方差與信噪比的關(guān)系

由于兩階彈性振型頻率之間相差較小，相互交叉影響大，由式(10)只能有效識別出與最大奇異值對應(yīng)的一階彈性振型頻率，辨識出的二階彈性振型頻率與實(shí)際值偏差較大。為了解決上述問題，先采用式(10)辨識出一階彈性振型頻率，將其濾除后，再重復(fù)上述過程，辨識出二階彈性振型頻率。

為了提高估計(jì)頻率的可靠性和有效性，根據(jù)先驗(yàn)信息，對頻率辨識結(jié)果作如下處理：

a)對連續(xù)10次辨識結(jié)果求均值，記為f1；

b)根據(jù)地面模態(tài)試驗(yàn)所確定的彈性模態(tài)頻率置信區(qū)間，對辨識結(jié)果f1進(jìn)行限幅處理，設(shè)限幅處理后的結(jié)果為f2；

c)為了防止頻率變化過快，將f2與上一時(shí)刻辨識結(jié)果fb作對比，設(shè)置閾值為0.01Hz，若兩者之差超過閾值，則取當(dāng)前辨識結(jié)果為fb+0.01sgn(f2-fb)。

2.2 自適應(yīng)陷波器系數(shù)在線調(diào)整策略研究

2.2.1 選取陷波濾波器

連續(xù)信號經(jīng)采樣后，變成離散信號，故通常采用數(shù)字型陷波濾波器對彈性模態(tài)進(jìn)行抑制。本文采用的陷波器如式(11)所示[14]

(11)

2.2.2 陷波器系數(shù)調(diào)整策略

若采樣頻率為fs(Hz)，陷波中心頻率為f0(Hz)，3dB的陷波帶寬為Δω(rad/s)，則陷波器參數(shù)可由式(12)確定：

(12)

當(dāng)彈性振型頻率變化時(shí)，陷波器參數(shù)隨之改變，由此便可實(shí)現(xiàn)對彈性振型的自適應(yīng)陷波。

3 仿真結(jié)果與分析

在 VS環(huán)境下，利用C語言建立六自由度的飛行控制模型進(jìn)行仿真，以俯仰通道為例，考慮兩階彈性振型，假設(shè)一階彈性振型頻率為5～7Hz，二階彈性振型頻率為20～30Hz。驗(yàn)證基于小波變換與奇異值分解的彈性自適應(yīng)陷波方法的有效性。仿真中控制系統(tǒng)周期為200Hz，航空器仿真步長為1ms，仿真時(shí)間為20s。每次使用105個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行彈性頻率辨識，離散小波函數(shù)的點(diǎn)數(shù)為100個(gè)，尺度因子a的點(diǎn)數(shù)為40個(gè)，時(shí)移因子b的點(diǎn)數(shù)為6個(gè)，即每次向右平移1個(gè)點(diǎn)數(shù)。陷波器3dB帶寬為40rad/s。

3.1 基于小波變換辨識彈性振型頻率

以二階彈性振型為例，基于WT&SVD法辨識其頻率。圖4為只對時(shí)變彈性振型頻率在線辨識，不在控制系統(tǒng)回路中添加可調(diào)陷波器；圖5為機(jī)動飛行指令俯仰角；圖6為機(jī)動飛行下，在線彈性頻率的辨識并在控制系統(tǒng)回路中添加可調(diào)陷波器；圖7為采用先驗(yàn)信息對圖6辨識結(jié)果優(yōu)化后的彈性頻率。

從圖4可知，采用本文算法辨識頻率快、在0.2s內(nèi)辨識結(jié)果就收斂到實(shí)際值附近；第5s彈性頻率從22Hz跳變到24Hz，在0.21s內(nèi)便完成對彈性振型頻率的辨識與跟蹤。

從圖6可看出，在機(jī)動飛行下，彈性頻率在真實(shí)值附近波動，這是由于本文算法靈敏度高，彈性模態(tài)信號被濾掉后，容易受到干擾，導(dǎo)致辨識結(jié)果出現(xiàn)偏差，而彈性信號一旦出現(xiàn)，又會辨識出正確頻率，所以辨識結(jié)果在真實(shí)值附近波動。圖5中指令角分別在第10s階躍1°、在第15s變成正弦指令時(shí)，辨識結(jié)果波動更大。為了降低航空器機(jī)動、噪聲干擾對辨識結(jié)果的影響，采用先驗(yàn)信息對辨識結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖7所示，辨識結(jié)果波動變小，在第10s、15s雖然波動較大，但也都在0.23s內(nèi)就收斂到實(shí)際值附近。

圖4 時(shí)變彈性頻率的辨識

圖5 機(jī)動飛行指令俯仰角

圖6 機(jī)動飛行下的彈性頻率辨識

圖7 機(jī)動飛行下優(yōu)化后的彈性頻率

3.2 濾波結(jié)果分析

在圖5機(jī)動飛行下，俯仰通道的角速度如圖8和9所示。圖8為未濾波的角速度，圖9為濾波后的角速度。

圖8 未濾波的角速度

圖9 濾波后的角速度

受彈性噪聲的影響，從圖8中無法得到真實(shí)有效的角速度信息，采用自適應(yīng)陷波器濾波后，結(jié)果如圖9所示，在0.3s內(nèi)就濾除角速度中的彈性噪聲。

3.3 對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性影響分析

一階彈性振動頻率為5～7Hz，接近控制系統(tǒng)頻帶，必須采用相位穩(wěn)定的方法，才能保證剛體航空器的控制穩(wěn)定裕度；而基于WT&SVD法的自適應(yīng)陷波法則可實(shí)現(xiàn)幅值穩(wěn)定，并保證剛體航空器的穩(wěn)定裕度。表(2)對比了2種方法在控制帶寬內(nèi)造成的相位滯后。本文方法的滯后是指在濾波參數(shù)允許變化范圍內(nèi)，可能導(dǎo)致的最大相位滯后。為了便于比較，在低頻段選取3個(gè)點(diǎn)對比了相位滯后的大小，具體情況如表2所示

表2 2種陷波器在低頻段引起的相位滯后對比

由表2可知，采用自適應(yīng)陷波器在低頻段3個(gè)點(diǎn)造成的最大相位滯后比彈性相位穩(wěn)定方法小，最大減小6.26°，最小減小2.35°，對提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度有利。

4 結(jié)論

1)采用WT&SVD法辨識彈性模態(tài)頻率速度快、精度高和彈性抑制效果好。能有效實(shí)現(xiàn)對彈性振型頻率的辨識和跟蹤；

2)利用先驗(yàn)信息處理辨識結(jié)果，可以有效提高辨識頻率的可靠性和精度；

3)基于WT&SVD的自適應(yīng)陷波方法，彈性抑制效果好，通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。與相位穩(wěn)定法相比，在控制系統(tǒng)截止頻率處的相位滯后更小。