聶 凱 曾科軍 左玉東

中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)，大連 116023

航天器軌跡可分為主動(dòng)段、自由段和再入段，其落區(qū)一般為漫漫荒漠或大海，惡劣的條件可能導(dǎo)致無(wú)法在自由段和再入段布設(shè)完備的測(cè)控系統(tǒng)，進(jìn)而導(dǎo)致全程測(cè)量數(shù)據(jù)不完備，無(wú)法通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)事后精確計(jì)算落點(diǎn)[1]。而航天器在首區(qū)測(cè)控?cái)?shù)據(jù)較全，可以精確計(jì)算關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)信息，同時(shí)再入段不做機(jī)動(dòng)的航天器關(guān)機(jī)后靠慣性飛行，動(dòng)力學(xué)模型可以精確建立，通過(guò)外推可以求解后續(xù)軌跡參數(shù)和落點(diǎn)位置，能夠彌補(bǔ)因測(cè)量數(shù)據(jù)不完備，導(dǎo)致落點(diǎn)計(jì)算精度較低的問(wèn)題[2]。

關(guān)于落點(diǎn)計(jì)算，研究較多的是實(shí)時(shí)落點(diǎn)預(yù)報(bào)，為航天器安全控制和回收服務(wù)。實(shí)時(shí)落點(diǎn)預(yù)報(bào)受計(jì)算速度和內(nèi)存容量的限制，一般采用簡(jiǎn)化的模型，即用橢圓軌道方程加地球扁率修正的方法，文獻(xiàn)[3-5]對(duì)此進(jìn)行了深入研究，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但計(jì)算精度有待提高。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，計(jì)算速度和內(nèi)存容量提升很快，對(duì)航天器進(jìn)行詳細(xì)的受力分析，考慮大氣動(dòng)力影響，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值積分求解或?yàn)V波外推的方法也被大量研究，但航天器飛行軌跡的非線性會(huì)引入一定的誤差[6-9]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者也嘗試?yán)萌斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局和最佳逼近能力，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等人工智能工具對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行逼近來(lái)預(yù)報(bào)落點(diǎn)，但其逼近精度取決于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和訓(xùn)練方法[10-11]。

在落點(diǎn)無(wú)法實(shí)地測(cè)量或全程測(cè)量數(shù)據(jù)不完備的情況下，事后精確計(jì)算落點(diǎn)位置也很必要。事后計(jì)算落點(diǎn)受實(shí)時(shí)性和計(jì)算容量的限制小，可以建立精確的動(dòng)力學(xué)模型，基于關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值積分可以求解后續(xù)軌跡參數(shù)和落點(diǎn)位置。Runge-Kutta法是一種應(yīng)用廣泛的單步算法，但計(jì)算效率較低，可以用來(lái)積分起步。Admas-Cowell相結(jié)合的方法，可以減少誤差[12]。

針對(duì)上述情況，本文在建立自由段和再入段動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用復(fù)合數(shù)值積分法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，并通過(guò)誤差系數(shù)對(duì)落點(diǎn)計(jì)算精度進(jìn)行分析。

1 落點(diǎn)計(jì)算原理

在自由段航天器只在地球引力作用下運(yùn)動(dòng)，再入段與自由段的差別僅僅是增加了空氣阻力的影響，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如式(1)所示。

(1)

空氣阻力XD

(2)

(3)

需要引入J2項(xiàng)，J2=0.00108263，Re=6378140，u=3.986005x1014，φ為地心緯度，其中，

(4)

(5)

(6)

(7)

2 求解航天器動(dòng)力學(xué)微分方程

利用航天器動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行航天器軌跡參數(shù)的外推，需要求解航天器動(dòng)力學(xué)微分方程。這里我們采用復(fù)合數(shù)值積分法進(jìn)行計(jì)算，即使用單步法和定長(zhǎng)多步法相結(jié)合，單步法使用四階Runge-Kutta法對(duì)積分的過(guò)程進(jìn)行起步。在使用定步長(zhǎng)方法積分速度時(shí)通常使用Adams方法，積分位置時(shí)選擇Cowell方法(KSG方法在積分位置時(shí)要引入速度項(xiàng)，會(huì)引起誤差的積累)。將2種方法聯(lián)合使用，稱為Adams-Cowell方法，作為本文的數(shù)值積分方法。Adams和Cowell方法，都使用預(yù)測(cè)-校正格式，用8階顯式公式提供預(yù)測(cè)值，9階隱式公式提供校正值。校正公式比預(yù)測(cè)公式高一階，既可以提高精度，又可以提高方法的數(shù)值穩(wěn)定性。

2.1 Adams方法

Adams方法的i階顯式公式為：

(8)

其中，cj與步長(zhǎng)h和fn無(wú)關(guān)，其值見表1[13]，限于篇幅，第8階系數(shù)沒有列出，表2～4與此情況類似。

表1 cj的值

(9)

表的值

i+1階校正公式可記為：

(10)

2.2 Cowell積分器

Cowell積分器的i階預(yù)報(bào)(顯式)公式為：

(11)

其中，常數(shù)cj的值見表3[13]。

表3 cj的值

(12)

表的值

類似于Adams方法，i+1階校正公式可記為：

(13)

3 誤差系數(shù)矩陣

對(duì)于再入段不做機(jī)動(dòng)的航天器，主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)和再入段大氣阻力決定了飛行器的落點(diǎn)位置。通常用落點(diǎn)偏差表示航天器的精度，它分為縱向偏差L和橫向偏差H，縱向偏差又稱射程偏差。誤差系數(shù)指關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)和空氣密度有偏差量時(shí)所造成的射程和橫向偏差的大小，各個(gè)誤差系數(shù)組成的矩陣稱為誤差系數(shù)矩陣，本文利用誤差系數(shù)矩陣反映關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)(xk,yk,zk,Vxk,Vyk,Vzk)和再入段空氣密度ρk對(duì)落點(diǎn)估計(jì)的影響程度，tk為飛行時(shí)間，誤差系數(shù)矩陣表達(dá)式為[14-15]：

(14)

4 仿真驗(yàn)證

4.1 圓概率偏差

圓概率偏差(CEP，circular error probability)能直觀反映目標(biāo)關(guān)機(jī)點(diǎn)及落點(diǎn)的估計(jì)誤差，并利用誤差橢圓面積估計(jì)誤差的大小，CEP是指中心位于估計(jì)均值，實(shí)際估計(jì)值以一定概率落在圓內(nèi)的圓的等效半徑[17-18]。

4.2 計(jì)算與仿真分析

假定目標(biāo)為某航天器航程3600km，發(fā)射點(diǎn)參數(shù)分別為T0=0s；L0=110E；B0=35N；h0=0m；射向A0=250°，主動(dòng)段關(guān)機(jī)時(shí)間為290s。同時(shí)其它各次試驗(yàn)發(fā)射原點(diǎn)、射向、飛行時(shí)間和距離與上述參數(shù)基本相同。采用8階Runge-Kutta法、復(fù)合積分法進(jìn)行計(jì)算，并與實(shí)際測(cè)量落點(diǎn)作差，落點(diǎn)偏差結(jié)果如表5所示。

表5 落點(diǎn)偏差計(jì)算結(jié)果

從表5可以看出，同樣階數(shù)的Runge-Kutta法和復(fù)合積分法，復(fù)合積分法的精度較高，主要是Adams-Cowell法的精度高于Runge-Kutta法。同時(shí)對(duì)完成整個(gè)積分過(guò)程的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，復(fù)合積分法的平均用時(shí)25.3s，8階Runge-Kutta法的平均用時(shí)56.7s，可見復(fù)合積分法的計(jì)算效率高，因?yàn)镽unge-Kutta法每計(jì)算一個(gè)點(diǎn)都需要進(jìn)行多次右函數(shù)的計(jì)算，消耗了時(shí)間。

同時(shí)，基于標(biāo)準(zhǔn)模板法對(duì)2種方法進(jìn)行1000次Monte Carlo仿真，仿真步長(zhǎng)為0.05s，得到CEP結(jié)果，復(fù)合積分法的CEP=1.658km，8階Runge-Kutta法的CEP=1.974km。

基于式(14)，設(shè)速度的初始偏差量為0.02m/s，然后以0.001m/s的步長(zhǎng)遞增至0.05m/s，其它參數(shù)保持不變；設(shè)位置的初始偏差量為100m，然后以1m的步長(zhǎng)遞增至400m，其它參數(shù)保持不變；設(shè)飛行時(shí)間的初始偏差量為1s，然后以0.1s的步長(zhǎng)遞增至4s，其它參數(shù)保持不變；設(shè)空氣密度的初始偏差為5%，然后以1%的步長(zhǎng)遞增至20%，其它參數(shù)保持不變，求解誤差系數(shù)隨各參數(shù)的變化，變化趨勢(shì)如圖1～4所示。

圖1 速度偏差量對(duì)縱向偏差的影響

圖2 位置偏差量對(duì)縱向偏差的影響

圖3 飛行時(shí)間偏差量對(duì)縱向偏差的影響

圖4 空氣密度偏差量對(duì)縱向偏差的影響

從圖1～4可見，關(guān)機(jī)點(diǎn)速度估計(jì)對(duì)于落點(diǎn)精度的影響較大，且二者成正比關(guān)系；關(guān)機(jī)點(diǎn)位置估計(jì)對(duì)于落點(diǎn)位置的影響程度不大；飛行時(shí)間越長(zhǎng)落點(diǎn)位置偏差越大；空氣密度偏差對(duì)落點(diǎn)位置影響較大，在計(jì)算落點(diǎn)位置時(shí)應(yīng)采用盡量精確的空氣密度和阻力系數(shù)矩陣。

5 結(jié)論

采用復(fù)合數(shù)值積分法對(duì)自由段和再入段的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了求解，通過(guò)誤差系數(shù)矩陣對(duì)落點(diǎn)計(jì)算精度進(jìn)行了計(jì)算分析。實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算和仿真結(jié)果表明，復(fù)合積分法采用四階Runge-Kutta法對(duì)積分的過(guò)程進(jìn)行起步，采用Adams-Cowell法進(jìn)行速度和位置積分，這樣既保證了積分能夠起步，又通過(guò)Adams-Cowell法提高了積分的精度和速度，且校正公式比預(yù)測(cè)公式高一階，能提高方法的數(shù)值穩(wěn)定性。同時(shí)通過(guò)誤差系數(shù)矩陣對(duì)關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)和空氣密度誤差對(duì)落點(diǎn)精度的影響進(jìn)行了計(jì)算分析，找出了對(duì)落點(diǎn)精度影響的關(guān)鍵因素，能用于航天器精度評(píng)估與鑒定。下一步將使動(dòng)力學(xué)模型更精確，尤其是再入段的空氣阻力系數(shù)矩陣。