趙楚楚 陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444)

模態(tài)綜合法是將一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解成若干個較為簡單的部分分別進行振動模態(tài)分析后，再綜合成結(jié)構(gòu)整體振動模態(tài)的有效近似分析方法。該方法的基本內(nèi)容在振動理論[1-4]或結(jié)構(gòu)動力學(xué)[5-6]的教材中有所介紹。在教材中通常用該方法近似計算基頻。在計算更高階頻率時是否有效，很少涉及。本文通過對教材[4]例題中一個兩端固定直角梁的分析，揭示該方法計算高階固有頻率時存在的問題，并探討相應(yīng)的解決方法。這些分析是對現(xiàn)有振動力學(xué)教學(xué)內(nèi)容的補充和澄清，有助于幫助學(xué)生更全面地掌握模態(tài)綜合法，也可以用作學(xué)生進行探究式學(xué)習(xí)的素材。

1 計算高階固有頻率時存在的問題

先看模態(tài)綜合法的例子[4]。兩根固定在O1和O2的相同直梁，長為l，截面彎曲剛度為EI，密度為ρ，截面積為S，在O3處剛性聯(lián)結(jié)為兩端固定的直角梁，如圖1所示。將這兩根直梁作為子結(jié)構(gòu)，分別以O(shè)1和O2為原點建立坐標(biāo)系(O1-x1y1)和(O2-x2y2)。采樣固定界面模態(tài)綜合法。選擇滿足幾何邊界條件的約束振型[4]

圖1 兩端固定的直角梁

為假設(shè)振型，則由位移和彎矩協(xié)調(diào)條件，由假設(shè)振型法可以導(dǎo)出前2階固有頻率為(教材[4]中僅給出第1階固有頻率)

用有限元法驗證上述固有頻率的精確性。設(shè)20#低碳鋼的幾何和物理參數(shù)為l =1 m,D=0.05 m,E= 205 GPa, ρ = 7 840 kg/m3。式 (2)給出的模態(tài)綜合法得到

應(yīng)用有限元軟件ANSYS進行計算，得到前6階固有頻率為

兩者第1階固有頻率非常接近(相對誤差1.48%)，用模態(tài)綜合法得出的第2階固有頻率與第4階固有頻率較為接近(相對誤差22.1%)。由模態(tài)綜合法得到的前2階振型如圖2所示，有限元法得到的前4階振型如圖3所示。模態(tài)綜合法的第2階振型，與有限元法的第3階振型接近。因此，模態(tài)綜合法計算第2階固有頻率不準確的原因是漏掉了第2固有頻率。

圖2 基于假設(shè)振型(1)的模態(tài)綜合法所得到前2階振型

2 提高高階固有頻率的精度

從有限元計算得到的振型看，互成直角的兩直梁對應(yīng)的振型存在兩種關(guān)系。其一是在平面內(nèi)繞兩段梁連接點旋轉(zhuǎn)90°后重合，如圖3(a)和圖3(c)；另一種是關(guān)于直角的平分線對稱，如圖3(b)和圖3(d)。因此引入一組新的假設(shè)振型有望避免固有頻率的遺漏。引入兩端固定梁的前n階模態(tài)的振型函數(shù) φj(xi)(j =1, 2, ··,n;i= 1, 2)作為假設(shè)振型。以前2階約束振型和前2階模態(tài)振型為假設(shè)振型，可以得到前4階固有頻率為

雖然有10.35%的相對誤差，但已經(jīng)避免了第2階固有頻率的遺漏。第3階固有頻率相對誤差只有0.22%，但第4階固有頻率的相對誤差為15.47%。

為進一步探討假設(shè)振型選取對模態(tài)綜合法的影響，考慮更多階假設(shè)振型以計算前4階固有頻率。擴展式（1）給出的滿足邊界條件的約束振型到k =3,4的情形?？紤]假設(shè)振型的4種選擇方式：（1）前4階約束振型和前4階模態(tài)振型；（2）前4階約束振型和第5到8階模態(tài)振型；（3）前2階約束振型和前4階模態(tài)振型；（4）前2階約束振型和前8階模態(tài)振型。計算的前6階固有頻率及其與有限元計算結(jié)果的相對誤差如表1所示。各種振型選擇計算的第1階固有頻率相同，第3和5階固有頻率的第（1），（3）和（4）三種假設(shè)振型選取結(jié)果接近，但偶數(shù)階即第2, 4和6階固有頻率同時用前4階約束振型和模態(tài)振型的結(jié)果較為精確。這種選擇下前4階振型如圖4所示。這些結(jié)果與圖3所示有限元結(jié)果接近。第6階固有頻率誤差較大，可能需要更多的假設(shè)振型。

圖4 模態(tài)綜合法計算的前4階振型

表1 不同假設(shè)振型下模態(tài)綜合法計算的前6階固有頻率及相對誤差

圖3 有限元計算的前4節(jié)振型

3 總結(jié)

本文以振動教材[4]中的兩端固定的直角梁為例，探討模態(tài)綜合法應(yīng)用中存在的問題以及改進的措施。以滿足幾何邊界條件的約束振型為假設(shè)振型計算固有頻率時，可以出現(xiàn)頻率遺漏的問題。同時采用約束振型和模態(tài)振型能取得較好的結(jié)果，采用前2階約束振型和模態(tài)振型，能較為精確地計算前3階固有頻率；同時采用4階約束振型和模態(tài)振型，能較為精確地計算前5階固有頻率。