劉樂(lè)瑤

摘 要：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程各具特點(diǎn)，但都是我們所需要掌握的重要內(nèi)容。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程能夠?qū)σ话惴匠踢M(jìn)行推導(dǎo)，能夠讓我們更好地理解圓的特點(diǎn)和相關(guān)知識(shí)。本文對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程進(jìn)行分析，以供參考。

關(guān)鍵詞：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的一般方程 分析研究

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）07-0-01

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，包含有a、b、r這三個(gè)參數(shù)，也就是圓心坐標(biāo)為（a，b），只需要將a、b、r計(jì)算出來(lái)，就可以確定圓的方程。所以，在對(duì)圓方程進(jìn)行確定的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)具備三個(gè)獨(dú)立的條件，圓的定位條件就是圓心坐標(biāo)，圓的定形條件就是其半徑。[1]

1.圓的方程

當(dāng)時(shí)，則圓心O的坐標(biāo)為（0，0），我們將其稱之為1單位的圓；

當(dāng)時(shí)，則圓心O的坐標(biāo)為（0，0），其半徑為r；

當(dāng)時(shí)，則圓心O的坐標(biāo)為（a，b），其半徑為r。

在對(duì)圓的方程進(jìn)行確定的過(guò)程中，主要是對(duì)待定系數(shù)法這一方法進(jìn)行運(yùn)用，也就是將有關(guān)a、b、r的方程組列出來(lái)，將a、b、r分別計(jì)算出來(lái)，亦或是將圓心（a，b）與半徑r計(jì)算出來(lái)，通常情況下，其步驟是：

依據(jù)有關(guān)題意，將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列出來(lái)；

依據(jù)相關(guān)已知條件，對(duì)有關(guān)a、b、r的方程組進(jìn)行建構(gòu)；

對(duì)所建構(gòu)的方程組進(jìn)行計(jì)算，分別將a、b、r的數(shù)值計(jì)算出來(lái)，將所計(jì)算的數(shù)值帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中去，進(jìn)而就可以將所求圓的方程計(jì)算出來(lái)。

2.方程推導(dǎo)

平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)P是圓中任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x，y）。

圓屬于平面到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合。[2]

因此，，分別將兩邊平方，可以得出。

3.點(diǎn)與圓

關(guān)于點(diǎn)P（x1，y1）與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系：

當(dāng)?shù)那闆r下，那么點(diǎn)P位于圓外；

當(dāng)?shù)那闆r下，那么點(diǎn)P位于圓上；

當(dāng)?shù)那闆r下，那么點(diǎn)P位于圓內(nèi)。

4.直線與圓的位置關(guān)系

在平面圖形中，在判定直線和圓的位置關(guān)系時(shí)，通常運(yùn)用以下方法：

通過(guò) 其中B不等于0，可以得出關(guān)于x的一元二次方程。通過(guò)判別式的符號(hào)，就可以對(duì)圓與直線的位置關(guān)系進(jìn)行確定，其位置關(guān)系如下：

倘若，那么圓與直線存在兩個(gè)交點(diǎn)，二者是相交關(guān)系；

倘若，那么圓與直線存在一個(gè)交點(diǎn)，二者是相切關(guān)系；

倘若，那么圓與直線不存在交點(diǎn)，二者是相離關(guān)系。

如果B=0，使y=b，那么就可以將兩個(gè)X值x1、x2計(jì)算出來(lái)，且規(guī)定，則：

倘若或者的情況下，二者是相離關(guān)系；

倘若的情況下，二者是相交關(guān)系。

幾何法：

將圓心到直線的距離d計(jì)算出來(lái)，半徑為r：

倘若，則二者是相離關(guān)系；

倘若，則二者是相切關(guān)系；

倘若，則二者是相交關(guān)系。

二、圓的一般方程

1.一般方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是與x和y相關(guān)二次方程，將元的標(biāo)準(zhǔn)方程展列開(kāi)來(lái)，并根據(jù)x、y的降冪進(jìn)行排列，可以得出：

假設(shè)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2-R2，那么方程可以轉(zhuǎn)換成：

任何圓的方程都可以用以上形式來(lái)進(jìn)行表示，相比較于一般形式的二元二次方程，其具有以下特征：

（1）x2項(xiàng)的系數(shù)等同于y2項(xiàng)的系數(shù)，并且二者不為0；

（2）該方程中不存在xy的乘積項(xiàng)。

2.推導(dǎo)過(guò)程

我們已經(jīng)得知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將其左半部分展開(kāi)，可以得出：，在該方程中，假設(shè)，，，那么。可以將原方程表示為：。

3.推論

由此說(shuō)明，一般情況下，將代表一個(gè)圓，所以，通過(guò)對(duì)一般方程進(jìn)行配方運(yùn)算，可以得出：

相比較于標(biāo)準(zhǔn)方程，可以判定：

（1）當(dāng)?shù)那闆r下，一般方程的圓心可以用表示，圓的半徑則為。

（2）當(dāng)?shù)那闆r下，一般方程只可以用一個(gè)點(diǎn)表示，這種半徑為零的圓稱之為點(diǎn)圓。

（3）當(dāng)?shù)那闆r下，不存在任何點(diǎn)的坐標(biāo)能夠與圓的一般方程相滿足，也就是說(shuō)一般方程不能將任何圖形表述出來(lái)，這種情況我們稱之為虛圓。

三、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程具有各自的優(yōu)勢(shì)，其中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)勢(shì)就是能夠?qū)A心與半徑明確地指示出來(lái)，然而通過(guò)圓的一般方程，能夠?qū)⒎匠淌街械奶卣魍伙@出來(lái)，有助于對(duì)曲線的形狀開(kāi)展相關(guān)區(qū)分工作。[3]

例題：計(jì)算方程的軌跡

解：在該方程中x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)均為1，且不存在xy項(xiàng)，其與圓的方程形式相同，將該方程式進(jìn)行配方可以得出：

，由此可以得出，該方程的軌跡就是一個(gè)圓，其圓心為點(diǎn)（1，-2），該圓的半徑為4。

此外，對(duì)于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系予以深入了解，也能夠讓我們對(duì)于其他問(wèn)題予以很好解決，對(duì)于我們相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)起到重要輔助作用。

圓的方程作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極為重要的知識(shí)，需要我們學(xué)習(xí)和掌握。通過(guò)對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程的了解，我們能夠?qū)接懈羁痰恼J(rèn)識(shí)，對(duì)公式也能夠更好地加以應(yīng)用。在此方面還有很大的提升空間，對(duì)于其相應(yīng)特點(diǎn)需要深入研究與探索，在圓的方程應(yīng)用方面同樣也需要不斷進(jìn)行探索。

參考文獻(xiàn)

[1]陳冰.翻轉(zhuǎn)課堂在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用初探——《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)實(shí)踐有感[J].職業(yè)，2017（35）：100-101.

[2]馮柱.淺談思維導(dǎo)圖在《圓的一般方程》教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫(xiě)（教育教學(xué)刊），2016，13（09）：103-104.

[3]李適君.淺談數(shù)學(xué)課堂的有效引入——以《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》為例[J].學(xué)周刊，2015（13）：90-91.