薛超群
【摘 要】在等差數(shù)列教學中,教師對教材進行歸納總結(jié),形成等差數(shù)列解題招式,能讓學生在學習中應用招式解決等差數(shù)列問題,增強學生學習信心,激起學習興趣,快速提高學習成績。
【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列;解題招式;等差數(shù)列題型
在高中數(shù)學等差數(shù)列教學中,筆者在教學實踐中,對教材進行歸納總結(jié),形成等差數(shù)列解題十招式,簡介如下:
招式一:“借力打力”:
在等差數(shù)列{a■}中,a■=a■+(n-m)d,表示a■是站在a■肩膀上,借用a■之力。
招式二:“老鼠拖蛋”:
在等差數(shù)列{a■}中,d=■,公式右邊分子,形如2只老鼠在樓上拖著雞蛋,雞蛋打碎后,字母n、m從樓上跌下。
招式三:“恩人帶路”:
在等差數(shù)列{a■}中,前n項和S■=na■+■d,公式右邊字母n(音恩人)在前面帶路,字母d(音弟弟)跟著走。
招式四:“下標和”:
在等差數(shù)列{a■}中,若n+m=p+q,則a■+a■=a■+a■,即下標和相等推出兩項和相等。
招式五:“等距抓壯丁”:
在等差數(shù)列{a■}中,等距離抽取出的項組成等差數(shù)列,如a■,a■,a■,…是等差數(shù)列。
招式六:“切豆腐,糅合”:
在等差數(shù)列{a■}中,前n項和S■,可得S■,S■-S■,S■-S■,…也是等差數(shù)列。
招式七:“等差數(shù)列四等價之一”:
數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■-a■=d,其中n≥2,d為常數(shù)。
招式八:“等差數(shù)列四等價之二”:
數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■=■,其中n≥2。
招式九:“等差數(shù)列四等價之三”:
數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■=pn+q,其中p,q為常數(shù)。
招式十:“等差數(shù)列四等價之四”:
數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于S■=an■+bn,其中a,b為常數(shù)。
學生用以上十個招式套路,可以提高解題速度,快速提高學習成績。
例1.在等差數(shù)列{a■}中,已知a■=5,d=2,求a■。
分析:在等差數(shù)列{a■}中,要求a■,用招式一“借力打力”,a■=a■+(n-m)d,a■=a■+6d=5+12=17。
例2.在等差數(shù)列{a■}中,已知a■=5,a■=17,求d。
分析:在等差數(shù)列{a■}中,要求d,用招式二“老鼠拖蛋”,即在等差數(shù)列{a■}中,d=■,d=■=2。
例3.在等差數(shù)列{a■}中,已知a■=5,a■=17,求S■。
分析:在等差數(shù)列{a■}中,要求S■,由前n項和公式S■=■n,S■=■×11,用招式四“下標和”,即若n+m=p+q,則a■+a■=a■+a■,S■=■×11=■×11=121。
例4.在等差數(shù)列{a■}中,已知a■,a■是方程x■+12x-8=0的兩根,求a■。
分析:在等差數(shù)列{a■}中,已知a■,a■是方程x■+12x-8=0的兩根,由韋達定理,得a■+a■=-12,要求a■,用招式五“等距抓壯丁”,即在等差數(shù)列{a■}中,等距離抽取出的項組成等差數(shù)列,得a■,a■,a■是等差數(shù)列;用招式八“等差數(shù)列四等價之二,數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■=■,其中n≥2”,得a■=■=-6。
例5.等差數(shù)列{a■}前n項和為S■,a■>0,已知a■,a■是方程x■-3x-28=0的兩根,求S■的最大值。
分析:等差數(shù)列{a■}前n項和為S■,a■>0,已知a■,a■是方程x■-3x-28=0的兩根,由(x+4)(x-7)=0,得兩根分別為-4和7。
當a■=-4,a■=7時,用招式二“老鼠拖蛋”,即在等差數(shù)列{a■}中,d=■,d=■=■,由a■=a■-3d=-15,與已知a■>0矛盾,舍去;
當a■=7,a■=-4時,用招式二“老鼠拖蛋”,即在等差數(shù)列{a■}中,d=■,d=■=-■,由a■=a■-3d=18,符合題意。
用招式三“恩人帶路”,即在等差數(shù)列{a■}中,前n項和S■=na■+■d,得S■=n×18+■·(-■)=-■n■+■n,當n=5■,取n=5時,S■有最大值,為■。
例6.在等差數(shù)列{a■}中,前n項和S■,已知S■=4,S■=16,求S■。
分析:在等差數(shù)列{a■}中,要求S■,用招式六“切豆腐,糅合”,即S■,S■-S■,S■-S■,…也是等差數(shù)列,可得S■,S■-S■,S■-S■,…,即4,12,S■-16,…為等差數(shù)列;
用招式八“等差數(shù)列四等價之二,數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■=■,其中n≥2”,可得S■=36。
例7.證明數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于a■=pn+q,其中p,q為常數(shù)。
分析:若數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,則a■=a■+(n-1)d=dn+(a■-d),設(shè)p=d,q=a■-d,即得a■=pn+q。
若a■=pn+q,其中p,q為常數(shù),則a■-a■=pn+q-(pn-p+q)=p,得知數(shù)列{a■}為等差數(shù)列。
例8.在數(shù)列{a■}中,前n項和S■,已知S■=n■+2n,判斷數(shù)列{a■}是什么數(shù)列,求a■。
分析:判斷數(shù)列{a■}是什么數(shù)列,用招式十“等差數(shù)列四等價之四,數(shù)列{a■}為等差數(shù)列,等價于S■=an■+bn,其中a,b為常數(shù),即得:
當n=1時,a■=S■=3。
當n≥2時,a■=S■-S■=n■+2n-[(n-1)■+2(n-1)]=2n+1。
當n=1時,a■=2n+1=3。
綜上,得a■=2n+1。
總之,在等差數(shù)列教學中,對教材進行歸納總結(jié),形成等差數(shù)列解題招式,讓學生在學習應用招式解決等差數(shù)列問題,這可以增強學生學習信心,激起學習興趣,快速提高學習成績。
【參考文獻】
[1]全日制普通高中數(shù)學新課程標準[M].北京:北京師范大學出版社,2007