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        能用拉格朗日中值定理解決不等式恒成立問(wèn)題嗎

        2018-08-23 06:10:38云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院孔德宏郵編650092
        關(guān)鍵詞:增函數(shù)中值拉格朗

        云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 孔德宏 龔 玨 (郵編:650092)

        不等式的恒成立問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),大致可以分為兩種類型:一是含參不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍;二是證明不等式成立.

        用拉格朗日中值定理來(lái)解決不等式的恒成立問(wèn)題具有高等數(shù)學(xué)背景,通常情況下解題過(guò)程簡(jiǎn)潔,解題方法新穎.但這樣做對(duì)嗎?如果對(duì),其依據(jù)是什么?如果不對(duì),那問(wèn)題又出在哪里?下面來(lái)研究這一問(wèn)題.

        1 含參不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

        例1 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1,若對(duì)任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立,求k的取值范圍.

        解法1 (分類討論)

        令g(x)=f(x)-kx,則g(x)=ex+(1-k)x-1>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.

        易知g(0)=0,g′(x)=ex+1-k,且g′(x)是增函數(shù),所以g′(x)>g′(0)=2-k.

        (1)當(dāng)k≤2時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).從而g(x)>g(0)=0,即k≤2滿足題意.

        (2)當(dāng)k>2時(shí),令g′(x)=0,即ex=k-1,易得x=ln(k-1)>0.

        因?yàn)間′(x)是增函數(shù),所以當(dāng)x∈(0,ln(k-1))時(shí),g′(x)<0,g(x)是減函數(shù).

        所以當(dāng)x∈(0,ln(k-1))時(shí),g(x)

        綜上,得k≤2.

        顯然f′(t)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以k≤f′(0)=2,故k≤2.

        說(shuō)明 兩種解法,答案相同.其中解法2使用了拉格朗日中值定理,避免了分類討論,從而簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.由此似乎可得出:求含參不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)取值范圍的問(wèn)題,用拉格朗日中值定理是一個(gè)較好的解題方法.

        事實(shí)真的是這樣嗎?我們?cè)囍猛瑯拥姆椒ń鉀Q例2.

        例2 已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1,若對(duì)任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立,求k的取值范圍.

        因?yàn)楫?dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex-x-1>0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以k

        故k的取值范圍為(-∞,e-2).

        令g(t)=et-2t,則g′(t)=et-2.

        令g′(t)=0,得t=ln2,易知g(t)在(0,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(t)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2.

        故k<2-2ln2,即k的取值范圍為(-∞,2-2ln2).

        說(shuō)明 兩種解法,答案不同.經(jīng)認(rèn)真檢查,可以確認(rèn)解法1是正確的,從而,這里的解法2肯定就出錯(cuò)了,可究竟錯(cuò)在哪里?特別地,例1中的解法2(拉格朗日中值定理法)為什么算出的答案又是正確的呢?

        2 錯(cuò)因分析

        而例1和例2的解法2卻都把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k

        3 用拉格朗日中值定理證明不等式

        例3 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1,x∈(0,+∞),求證:f(x)>2x.

        證明 (拉格朗日中值定理)

        又因?yàn)閒′(t)=et+1在t∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f′(t)=et+1>2.

        4 關(guān)于D*?D的典型例子

        例4 已知定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)=xe-x.

        5 結(jié)論

        結(jié)論1 已知含參數(shù)k的不等式對(duì)x∈D恒成立,求參數(shù)k的取值范圍的問(wèn)題(如例1、例2),若能用拉格朗日中值定理,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k

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