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        例談含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題及其解法

        2018-08-23 06:11:34福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院王沛鈺郵編350117
        關(guān)鍵詞:思想

        福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 王沛鈺 (郵編:350117)

        自2017年起,高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的選做題由三選一改為二選一,去掉了選修4-1的幾何證明選講,保留了選修4-4的坐標(biāo)系與參數(shù)方程和選修4-5的不等式選講.對(duì)于不等式選講的這道選做題,通常設(shè)置兩問(wèn), 每小問(wèn)5分,總計(jì)10分,并且文理同題.縱觀近幾年高考全國(guó)卷不等式選講的題目,不難發(fā)現(xiàn)出題模式以絕對(duì)值不等式問(wèn)題為主.如下表1所示,對(duì)2013年―2017年高考全國(guó)卷不等式選講的題目類(lèi)型統(tǒng)計(jì),可以看出全國(guó)I卷近5年有4年考了絕對(duì)值不等式問(wèn)題,全國(guó)II卷近5年有3年考了絕對(duì)值不等式問(wèn)題,全國(guó)Ⅲ卷自啟用連續(xù)2年考了絕對(duì)值不等式問(wèn)題.如果對(duì)這些絕對(duì)值問(wèn)題進(jìn)行分析,還可以得到:第(I)問(wèn)主要考查絕對(duì)值不等式的解、畫(huà)絕對(duì)值函數(shù)的圖象等,此問(wèn)比較容易;第(II)問(wèn)多涉及含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題,題 型靈活,且??疾榛瘹w與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.通過(guò)分析含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題,總結(jié)出了三種??碱}型:求參數(shù)的值或范圍、不等式證明以及絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,并結(jié)合例子給出了三種常考題型的一般解法,希望對(duì)廣大的高中師生有所幫助.

        表1 2013年―2017年高考全國(guó)卷不等式選講的題目類(lèi)型統(tǒng)計(jì)(全國(guó)Ⅲ卷于2016年啟用)

        1 求參數(shù)的值或范圍

        1.1 已知不等式的解集

        例2 已知函數(shù)f(x)=|x-a|(其中a>1),若關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為x|1≤x≤2,求a的值.

        解析 設(shè)h(x)=f2x+a-2f(x),則

        點(diǎn)評(píng) 已知含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解集,如果不等式中只有一個(gè)絕對(duì)值,我們通常利用|f(x)|>g(x)?f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),|f(x)|

        先求出該不等式的解集,再根據(jù)題設(shè)列方程(組)或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍;如果不等式中含有兩個(gè)絕對(duì)值,我們可以考慮分段去掉絕對(duì)值來(lái)求解集,其中可能會(huì)涉及分類(lèi)討論,操作起來(lái)會(huì)稍微復(fù)雜一點(diǎn),需要確保分類(lèi)討論的情況不重復(fù)、不遺漏.

        1.2 已知恒成立或存在性條件

        例3 (2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I·文理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=x+1+x-1.

        (I)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;

        (II)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

        解析 (I)略.

        (II)方法一 化歸轉(zhuǎn)化思想

        方法二 數(shù)形結(jié)合思想

        由于不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等價(jià)于f(x)≥g(x)在[-1,1]內(nèi)恒成立.又因x∈[-1,1]時(shí),g(x)=2,故可得f(x)≥2?-x2+ax+4≥2?x2-2≤ax在[-1,1]內(nèi)恒成立.作出y=x2-2在[-1,1]上的圖象,如圖1所示,函數(shù)y=ax必須落在l1、l2之間,此時(shí)kl1=-1、kl2=1.因此a的取值范圍為[-1,1].

        圖1

        例4 已知關(guān)于x的不等式|x-a|+|x+a|

        解析 因?yàn)閨x-a|+|x+a|≥|x-a-x-a|=|2a|,且不等式|x-a|+|x+a|

        點(diǎn)評(píng) 已知恒成立或存在性條件,求參數(shù)的值或范圍,可以利用化歸與轉(zhuǎn)化思想分離參數(shù)變成最值問(wèn)題考慮,也可利用分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值符號(hào)直接計(jì)算,還可利用數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)出圖象直觀觀察.

        比如,利用化歸轉(zhuǎn)化思想分離參數(shù)后,若a>f(x)在x∈D恒成立,則a>f(x)max;若af(x),則a>f(x)min;若存在x∈D使得a

        1.3 已知兩個(gè)函數(shù)圖象圍成的區(qū)域大小或形狀

        例5 (2015高考高考卷I·文理24)已知函數(shù)f(x)=x+1-2|x-a|,a>0.

        (I)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;

        (II)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

        解析 (I)略.

        (II)由題設(shè)可得f(x)=x+1-2|x-a|

        所以a的取值范圍為(2,+∞).

        例6 已知函數(shù)f(x)=x+x-3的圖象與直線y=ax+5a(a>0)的圖象可以圍成一個(gè)三角形,求a的取值范圍.

        解析

        圖2

        點(diǎn)評(píng) 已知兩個(gè)函數(shù)圖象圍成的區(qū)域大小或形狀求參數(shù)的值或范圍,關(guān)鍵先要確定圍成的區(qū)域,再用區(qū)域大小或區(qū)域形狀聯(lián)系參數(shù),得到滿足題意的式子,解出參數(shù)的值或范圍.如例5中關(guān)鍵是確定三角形區(qū)域,進(jìn)而求出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo), 其中兩點(diǎn)顯然是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn), 方法一用零點(diǎn)分區(qū)間結(jié)合圖象求交點(diǎn)坐標(biāo);方法二是用方程思想求出函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo), 用絕對(duì)值三角不等式求出函數(shù)最大值繼而求出另一點(diǎn)的坐標(biāo),等三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出后,聯(lián)系面積求參數(shù)的范圍就變成水到渠成的事情了.

        2 不等式證明

        例7 (2015高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷II·文理24)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:

        解析 (I)略.

        (II)① 若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.

        于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.

        例8 已知函數(shù)f(x)=x-2,若a>2,求證:?x∈R,fax+af(x)>2恒成立.

        證明 因?yàn)閒(x)=x-2,所以f(ax)+af(x)=|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|,當(dāng)且僅當(dāng)(ax-2)(2a-ax)≥0時(shí),等號(hào)成立.又因a>2,所以2a-2>2,即fax+af(x)>2,因此,?x∈R,fax+af(x)>2恒成立.

        點(diǎn)評(píng) 不等式的證明方法有很多,如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等,證明時(shí)需靈活選擇,才能收到事半功倍的效果.絕對(duì)值不等式的證明還需聯(lián)系不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值三角不等式(|a+b|≤a+b、a-b≤a±b≤a+b),但要注意取等條件是否滿足.

        3 絕對(duì)值不等式的應(yīng)用:求函數(shù)的最值

        解析 因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|≥(x+a)-(x-b)=|a+b|,

        又因a、b∈R+,所以

        例10 已知函數(shù)f(x)=2x-1,若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,求fa2+fb2的最小值.

        解析 由f(x)=2x-1,可得fa2+fb2=|2a2-1|+|2b2-1|≥|2(a2+b2)-2|,因a+b=2,利用柯西不等式可得2a2+b2=12+12a2+b2≥(a+b)2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,從而2a2+b2-2≥2,即fa2+fb2≥2,故fa2+fb2的最小值為2.

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