浙江省上虞中學(xué) 李益鋒 (郵編：312300)

摘 要 含絕對(duì)值的函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一種較常見(jiàn)的函數(shù),其最值問(wèn)題在習(xí)題和高考中也是屢見(jiàn)不鮮.然而學(xué)生遇到這類問(wèn)題時(shí),往往無(wú)從下手,仔細(xì)研究后并不是無(wú)章可循.筆者對(duì)一類含絕對(duì)值函數(shù)最大值中的最小值從絕對(duì)值幾何意義角度進(jìn)行了研究,得出了一個(gè)簡(jiǎn)單、實(shí)用的結(jié)論,值得推廣,以慰讀者.

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合;絕對(duì)值函數(shù);最值互嵌

含絕對(duì)值的函數(shù)通常是指有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對(duì)值符號(hào)之內(nèi)的一類函數(shù),簡(jiǎn)稱絕對(duì)值函數(shù). 縱觀近幾年的高考試卷，有關(guān)含絕對(duì)值函數(shù)的問(wèn)題呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、立意新穎、難度大等特點(diǎn).如果絕對(duì)值函數(shù)再加上求最值，就使題目難度更加大了，讓人感到無(wú)從下手.其實(shí)，這類含有絕對(duì)值最值問(wèn)題，也并非沒(méi)有規(guī)律可循.我們只要找準(zhǔn)做題的切入點(diǎn)，就能把絕對(duì)值這層保護(hù)膜打開(kāi)，找到題目最初的模樣，順利地找到思路并解決問(wèn)題.下面就2016年浙江學(xué)考第18題的講解，來(lái)探求這一類絕對(duì)值函數(shù)最值問(wèn)題簡(jiǎn)捷解法.

1 考題呈現(xiàn)

C.(-∞,1〗 D.(-∞,2]

這是2016年4月浙江學(xué)考第18題，下面通過(guò)三個(gè)不同的視角來(lái)剖析此題.

視角一 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

此題本質(zhì)為最值互嵌問(wèn)題，所以可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.因?yàn)榇嬖趚0∈2〗，使得f(x0)≥m成立，所以可將此題轉(zhuǎn)化為求M(a,b)=f(x)max≥m,在?a>0,b∈R成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求M(a,b)min≥m.

視角二 利用絕對(duì)值三角不等式

因?yàn)閒(x)max=max{f(1)，f(2)}=M(a,b)≥m恒成立，

視角三 利用數(shù)形結(jié)合

圖1

2 解法拓展

對(duì)此類含絕對(duì)值函數(shù)最大值中的最小值問(wèn)題，我們可從絕對(duì)值幾何意義角度進(jìn)行研究,把視角三的解法推廣成一般情況，可得到如下定理：

定理 設(shè)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上連續(xù)，則

這個(gè)式子的含義即在數(shù)軸上的點(diǎn)f(x)∈[f(x)min,f(x)max]與b之間的距離的最大值的最小值是在當(dāng)b落在區(qū)間[f(x)min,f(x)max]中點(diǎn)時(shí)取得的，且此時(shí)這個(gè)最大值的最小值等于區(qū)間長(zhǎng)度的一半.

特別地當(dāng)f(m)=f(n)時(shí)，我們還可以得到如下的推論：

3 解法應(yīng)用

利用以上定理與推論，我們就可以快速地求解以下題目：

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|,x∈[0,1],其中a、b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為_(kāi)_____.

思路分析1 構(gòu)造“平口單峰函數(shù)y=x2-x.

思路分析2 設(shè)g(x)=x2，h(x)=ax+b，則f(x)=|g(x)-h(x)|,再利用實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值的幾何意義求解.

圖2

4 解法延伸

例4 設(shè)f(x)=4x+1+a·2x+b,(a、b∈

通過(guò)上面的幾個(gè)問(wèn)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值的幾何意義解題，使一些比較復(fù)雜的絕對(duì)值問(wèn)題得到巧妙解決，避免了煩瑣的分類討論.這正體現(xiàn)了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算．我們抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，不僅溝通了知識(shí)的聯(lián)系，而且也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有較深刻的理解和掌握.