雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué) 210044)

例1 (2017江蘇南京二模)12．若函數(shù)f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)m組成的集合為____．

分析零點(diǎn)問題的常用思路來嘗試處理一下.思路一：令f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8=0，由題意方程只有唯一解，但該方程解的問題無法處理；思路二：用導(dǎo)數(shù)法研究f(x)的單調(diào)性最值以及圖象，結(jié)合函數(shù)圖象解決問題，但困難在于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法順利求出，問題還是無法順利解決；思路三：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)有且只有一個(gè)，但是由于兩個(gè)函數(shù)都含有參數(shù)，圖象還是不太容易畫出，問題還是不好解決.事實(shí)上，如果我們?cè)僮屑?xì)審題，回到函數(shù)的核心性質(zhì)上，就會(huì)使問題迎刃而解.解決該題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)而偶函數(shù)的零點(diǎn)如果不是零的話一定是成對(duì)出現(xiàn)的.偶函數(shù)f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點(diǎn)意味著它有唯一的零點(diǎn)0.由f(0)=0求出m的值再加以檢驗(yàn)即可得到最后的答案.

解析因?yàn)閒(-x)=x2-mcos(-x)+m2+3m-8=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).

又因?yàn)閒(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點(diǎn),所以f(0)=0 即m2+2m-8=0.解得m=2或m=-4.

當(dāng)m=-4時(shí)，f(x)=x2+4cosx-4

當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x2-2cosx+2=x2+2(1-cosx).顯然當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,有偶函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，符合題意.

綜上,m的取值集合為{2}.

例2 已知函數(shù)f(x)=2x2+m的圖象與函數(shù)g(x)=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|都是偶函數(shù)，它們的圖象都是關(guān)于y軸對(duì)稱的，因此在y軸右側(cè)這兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)應(yīng)該是兩個(gè).

所以問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x>0時(shí)，方程2x2+m=lnx有兩個(gè)解.即：m=lnx-2x2

問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：已知直線y=m與曲線h(x)=lnx-2x2有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.

用導(dǎo)數(shù)法易求得函數(shù)h(x)=lnx-2x2的極值和單調(diào)區(qū)間，畫出示意圖由示意圖可知：

當(dāng)m∈(-,時(shí)，直線y=m與曲線h(x)=lnx-2x2有兩個(gè)交點(diǎn),即當(dāng)x>0時(shí)，方程2x2+m=lnx有兩個(gè)解.

結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可得：函數(shù)f(x)=2x2+m和g(x)=ln|x|有四個(gè)交點(diǎn)

例3 (2009·山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____.

解析f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x).

由此可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

由f(x-4)=-f(x)可知函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),所以函數(shù)圖象也關(guān)于直線x=-6對(duì)稱.不妨設(shè)：x1

所以：x1+x2+x3+x4=-8.

思考題1 (2016高考新課標(biāo)Ⅰ改編)函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]有____個(gè)零點(diǎn)．

解析函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故先考慮其在[0,2]上有幾個(gè)零點(diǎn)．∵f(0)<0,f(1)<0,f(2)=8-e2>0,∴f(x)在[0,2]上有零點(diǎn)．設(shè)g(x)=f′(x)=4x-ex．

∵g(0)<0,g(1)>0,g(2)>0,∴g(x)在[0,2]上有零點(diǎn)．又由g′(x)=0，可得4-ex=0，設(shè)其解為x1，易知x1∈(1,2)且g(x1)>0,∴g(x)在[0,2]上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0且x0∈(0,1)．從而當(dāng)00，即f′(x)>0.故x∈(0,x0)時(shí)，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)x∈(x0,2)時(shí)，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．

又f(0)<0,f(1)<0,∴f(x0)<0,∴f(x)在[0,2]上有唯一零點(diǎn)．由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知f(x)在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn)．

2．已知函數(shù)f(x)是定義在(-,0)∪(0,+)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，則函數(shù)g(x)=4f(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).

A． 4 B．6 C．8 D．10

(2)周期性函數(shù)作圖時(shí)，若函數(shù)圖象不連續(xù)，則要注意每個(gè)周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖象中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合.

(3)巧妙利用f(x)的奇偶性，可以簡(jiǎn)化解題步驟．例如本題中求交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，只需分析正半軸的情況，而負(fù)半軸可用對(duì)稱性解決．

思考題2 (2018江蘇淮安盱眙中學(xué)高三第一次學(xué)情調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=2x2+m的圖象與函數(shù)g(x)=ln|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____．

方法點(diǎn)睛本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根，屬于難題．函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根往往是“知一求二”，解答時(shí)要先判斷哪個(gè)好求解就轉(zhuǎn)化為哪個(gè)，判斷函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1) 直接法：令f(x)=0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題．