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        例談競賽中含根號問題的解法

        2018-08-15 05:06:22周友德
        數(shù)理化解題研究 2018年20期
        關(guān)鍵詞:根號平方差合情

        周友德

        (安徽省蕪湖市無為縣蜀山鎮(zhèn)黃姑小學(xué) 238361)

        一、利用平方差公式:a2-b2=a+ba-b

        除了上述常見的分母有理化外,還有分子有理化:

        故a

        同理:

        故x

        評析利用平方差公式,將分數(shù)分母(或分子)有理化,從而使題目得到化簡,避免了繁瑣的解答.

        二、利用完全平方公式:a±b2=a2±2ab+b2

        例5 (2013年北京市初二競賽題改編)化簡

        ①②相加減即可得到如下公式:

        評析利用完全平方公式,可以將含多個根號的數(shù),逐步去根號,得到最終的答案,但是前提是知道根號下的數(shù)到底是什么數(shù)的平方,這才是關(guān)鍵.必需不斷的做題,練習(xí),總結(jié).

        三、利用合情推理

        ……

        評析合情推理是波利亞的"啟發(fā)法"中的一個推理模式2.就是從已有的知識和具體的事實經(jīng)驗出發(fā),通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理.要做此類題時,一定要大膽猜想,通過對前幾項根號的逐步計算,通過合情推理,得出最終的結(jié)論.

        四、利用完全立方公式:a+b3=a3+b3+3aba+b

        ?x3=4-3·x

        ?x3+3x-4=0

        ?x-1x2+x+4=0

        ?x=1

        ?x3=12+5x

        ?x3-5x-12=0

        ?x-3x2+3x+4=0

        ?x=3

        評析通過完全立方公式a+b3=a3+b3+3aba+b化簡這類根號題,必須先令整個式子為x,然后兩邊三次方,從而解出實數(shù)x.但要注意兩個三次根號下的數(shù)必須是對偶數(shù)才可以用此法.

        五、其他升級

        1.綜合化歸

        綜合化歸,即綜合前面所講的所有方法進行化歸,對學(xué)生的能力要求更高.

        ①+②+③得:

        2.整體代換

        解可得1994=2x-12即4x2=4x+1993,故4x3-1997x-1994=x(4x+1993)-1997x-1994=4x2-4x-1994=1993-1994=-1

        ?4x3-1997x-19942001=-12001=-1.

        解可得3=a+12?a2-a+1=3-3a

        ?原式=a3a2-a+1+a2-a+1=a3+1a2-a+1

        =a+1a2-a+12

        =a+13-3a2

        3.裂項變形

        4.因式分解

        評析含根號的題目變化萬千,但只要掌握其本質(zhì),就能一招制敵,要會舉一反三.這樣才能在做題時,多角度,多思維地去考慮,才能在做題中找到合適的方法.

        通過以上的多種方法的化歸,轉(zhuǎn)化過渡,就能使問題能由繁變簡,由難變易,通過多元化的解題方法能讓學(xué)生更加體會到數(shù)學(xué)中的千變?nèi)f化的美.學(xué)生應(yīng)在不斷做題中,在方法的不停的交匯中,就能達到自身水平的提高,這樣才會在解題時,找到渾然天成的解題方法.

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