程志南

(海南省瓊中縣中平(南方)學(xué)校初中部 572915)

一、應(yīng)用軸對(duì)稱性

例1 (2016·黑龍江龍東)如圖1，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 .

分析直接求解兩線段和PA+PB的最小值比較困難，考慮到圓的對(duì)稱性，故可作出某一點(diǎn)(如點(diǎn)A)的對(duì)稱點(diǎn)A′，此時(shí)PA′+PB=PA+PB.根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，可知A′B≤PA′+PB=PA+PB，由“兩點(diǎn)之間線段最短”知A′B即為所求.

評(píng)注本題實(shí)際上是“將軍飲馬問題”融進(jìn)圓中動(dòng)點(diǎn)問題.考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂徑定理和解直角三角形，熟記定理并作出圖形，將問題轉(zhuǎn)化為求另一條線段的最值是解題的關(guān)鍵.此類問題用“將軍飲馬的思想”去解決，先作對(duì)稱點(diǎn)，然后連結(jié)求最值.

二、應(yīng)用垂線段最短

分析由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF的長(zhǎng)度有最小值.

評(píng)注本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形.

三、應(yīng)用極值法

例3 (2016·四川瀘州)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，點(diǎn)P在以D(4，4)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是____.

分析由題意∠BPC=90°和A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上點(diǎn)P到點(diǎn)A的最大距離即可解決問題，而這個(gè)最大距離的點(diǎn)P′就在圓外一點(diǎn)A到圓上的最遠(yuǎn)點(diǎn).

解∵A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)(a>0)，∴AB=1-(1-a)=a，CA=1+a-1=a，∴AB=AC.∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a.延長(zhǎng)AD交⊙D于P′(如圖4)，此時(shí)AP′最大.∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD=5，∴AP′=5+1=6，即a的最大值為6.

評(píng)注本題將最值問題融進(jìn)圓背景中，考查圓、最值問題、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)PA=AB=AC=a.找出動(dòng)點(diǎn)的極端位置往往能確定最值，而圖形的性質(zhì)最容易在極端狀態(tài)和臨界情形顯露出來，所以在解決最值問題時(shí)，常常利用極端、臨界元素進(jìn)行突破.

四、應(yīng)用切線的性質(zhì)

例4 (2010·江蘇蘇州)如圖5，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1.若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是( ).

分析關(guān)注△ABE，由于△ABE的底邊BE上的高OA是定值，若△ABE面積的最小，則BE最短.可以判斷當(dāng)AD與⊙C相切時(shí)，BE最小.

評(píng)注本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí).能夠正確判斷△ABE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置是解題的關(guān)鍵.