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        一個條件概率問題的辨析

        2018-08-09 15:09:34廣東省廣州市第七中學510080陳武生
        中學數(shù)學研究(廣東) 2018年11期
        關鍵詞:白球紅球骰子

        廣東省廣州市第七中學(510080) 陳武生

        一、問題的提出

        文[1]指出了教學中容易被師生疏忽的有關條件概率的問題,讀后很受啟發(fā).最近,筆者所在學校使用了如下的一道題目進行高三測試,結果再次引起了大家的爭論與反思.

        原題(廣州某地高中畢業(yè)綜合測試題)拋一枚均勻的骰子(骰子的六面分別有數(shù)字1,2,3,4,5,6)來構造數(shù)列{an},使

        原標準答案(1)從略.(2)若或即前2次拋骰子中都是奇數(shù)或都是偶數(shù).若前2次都是奇數(shù),則必須在后5次中拋出3次奇數(shù)2次偶數(shù),其概率:若前2次都是偶數(shù),則必須在后5次中拋出5次奇數(shù),其概率:所以所求事件的概率

        可以看出,原標準答案中把第二問看成是積事件.

        二、問題的討論

        兩種與原標準答案不同解答測試后發(fā)現(xiàn),相當多的學生把第2問看成是條件概率來解.學生解法中,除標準答案的方法之外,還有以下兩種:

        解法一(縮小樣本空間法)所求概率為

        解法二(據(jù)條件概率公式計算)設

        按文[1]說法,本題第2問應使用條件概率.本文不想在是否用條件概率的問題上做太多的文章,相信在以后的各類考試中,命題者會在措詞上給出明確的表述.筆者認為,本題第二問是條件概率問題,所以原標準答案是錯誤的.現(xiàn)在的問題是,以上解法一、解法二為何結果不同?

        三、原因分析

        (i)對于解法一,可從獨立性方面分析如下:由題目知,前兩次的結果與后面幾次的結果之間沒有關系,即所求為:P(B|A)=P(B′),其中B′為換句話說,A與B′相互獨立,所以解法一正確.

        (ii)對于解法二,初看難于發(fā)現(xiàn)結果與解法一相異的原因.從解題過程,我們可作以下的分析:

        解法三

        歸納總結事實上,解法三就是全概率公式,高中的教材并沒有涉及;根據(jù)文[2],為了求得較復雜事件R的概率,可以先把它分成兩個(或若干個)互不相容的較簡單事件之并,利用加法公式求得.全概率公式如下:設B1,B2,···是一列互不相容的事件,且有則對于任一事件A,有

        下面再舉一例子來說明問題.

        例1 有兩個箱子,1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機從1號箱中選出1個放入2號箱,然后從2號箱中隨機選出一個球,試給出從2號箱中取出紅球的概率?

        分析這里用全概率公式求解.

        解因為從1號箱中選出白球的概率記為B1;從1號箱中選出紅球的概率記為B2;1號箱中選出的為白球時,從2號箱中取出紅球的概率為1號箱中選出的為紅球時,從2號箱中取出紅球的概率設所求的事件為R,則

        四、一些建議

        1.命題應嚴把文字關,對于易引起混淆的語義,應進行修改;歷年高考命題都遵守這個原則.

        2.條件概率的教學應把握難度,不應出太難的題,但對這個概念本身,力求在教學中講透.對于本題的解法二為何出錯,學生也許不能真正理解,還可以用以下題來說明:

        變式投擲骰子兩次,求在第一次擲得的點數(shù)為1或2的條件(設為A)下,兩次擲得的點數(shù)之和為5(設為B)的概率.

        由于可以列舉法證得,學生更容易理解.

        解法一(正確解法)容易求得所求概率為

        解法二(錯誤解法)所求為

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