江蘇省揚州大學數學科學學院(225002) 劉銘鑫 濮安山

不等式問題作為高考的熱點問題,信息少,難度高,如何在較短的時間內發(fā)現規(guī)律,從而找到合適的解法策略,一直是眾多學生所追求的.從某市最近的幾次?？贾胁浑y看出,大多數學生在解答有關齊次不等式求最值問題時,方法單一,思路欠缺,得分率較低.筆者通過對近幾年齊次不等式解法的探究歸納,以此期望幫助學生對此類問題形成清晰的表象特征,豐富其解題策略,提高其綜合解題能力.

策略一 因式分解與換元

例1 已知a,b∈R,滿足a2?ab?2b2=1,求a2+b2的最小值____.

其中等號當且僅當

時取得.

分析對于給定的等式,我們要善于從中發(fā)現規(guī)律,以這種規(guī)律作為突破口,建構起解題思路.通過觀察,等式的左邊可以進行因式分解,并且兩個因式的乘積為一個定值,聯想到基本不等式中的和積互化,我們進行換元,并且可以將a2+b2反代換成關于x和y的一個表達式,進一步利用基本不等式,原式得到解決.

相關習題

習題1 (2018揚州市二模理科第12題)已知a,b∈R,a＞b,若2a2?ab?b2?4=0,則2a?b最小值為____.

習題2 已知x,y∈R,滿足x2?xy+y2=1,求x2?y2的最值___.

策略二 均值縮放

例2 已知x＞0,y＞0,滿足4x2?xy+y2=25,求3x2+y2的最大值___.

解由4x2?xy+y2=25得

分析我們知道,利用均值不等式是解決一類不等式的重要方法和途徑,而均值不等式是關于所有變元的齊次不等式(整式不等式或等式的所有項的次數相等,或分式不等式的分子、分母所有項的次數都相等).[1]在此基礎上觀察條件和結論,發(fā)現前后所有變元的次數相等,可以進行一次放縮,先將xy構造成有關x2和y2的表達式,但通過嘗試我們發(fā)現直接利用基本不等式所得到的有關x2和y2的表達式,并非是我們所要求的,因此將原式稍加改變,添加一個參數λ,利用待定系數法,先擴張,再化簡,進而利用問題中的倍數關系求出系數,問題得以解決.

相關習題

習題3 已知a＞0,b＞0,a2+2b2=ab+3,求a2+b2的最大值是___.

習題4 已知正實數x、y滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2的取值范圍是____.

策略三 三角換元

例3 已知4x2?xy+y2=25,求3x2+y2的取值范圍是____.

分析通過對原式的觀察,發(fā)現原式的左邊并不能因式分解,故策略一不能使用,對比例二,變元的范圍并沒有限定,故不滿足策略二縮放的要求.回顧題目,這是一道有關平方和的問題,可以抽象拓展到三角函數的平方和上,也就是我們俗稱的三角換元法,原式轉變?yōu)橛嘘PR和θ的等式,其中R2可以單獨提出來,這也是我們所要求解的,原問題轉變?yōu)橐坏廊呛瘮登笞钪祮栴},接下來利用三角恒等變換、二倍角公式等,思路逐漸清晰.

相關習題

習題5 已知實數x,y,滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2+2xy的取值范圍是____.

習題6 若a＞0,b＞0,且4a2+b2=4ab+1,則a2+3b2的最大值為____.

策略四 “1”的代換

例4 (2018年揚州高三期末第13題)已知x＞0,y＞0,且5x2+4xy?y2=3,求12x2+8xy?y2的最小值.

等號當且僅當m=3即時取到.

分析學生在學習三角函數恒等變換時初步接觸過“1”的代換,常常通過它來構造出有關正切函數的表達式.類比三角函數,我們推廣到更廣泛的齊次恒等式,通過代換,同樣可以構造出一個形如的分式方程,進而換元,未知量個數減少到一個,分式方程的分子分母未知量最高次數都是二次,因此進行裂項,分離出分子中有關t2的項,進而對剩下的一次項再換元,之后上下同時除以m,一個基本不等式便可以構造出來.在來回代換的過程中,變元的取值范圍至關重要,影響到最終能否取到等號,所以一定要來回審視題目,分析清楚.

相關習題

習題7 已知a＞0,b＞0,且a2+2b2=ab+3,則a2+b2的最大值___.

策略五 判別式

例5 已知實數x、y滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2取值范圍是___.

解設

即t(2x2+2y2?xy)=3x2+4y2,化簡得(2t?3)x2?tyx+2ty2?4y2=0,因為x要有解,所以?≥0,即

所以t2?4(2t?3)(2t?4)≥ 0,即(3t?4)(5t?12)≤0,解得所以3x2+4y2的取值范圍是

分析判別式法類似于“1”的代換,因為x、y的正負性未知,所以不能直接進行換元求解,聯想到函數中根的分布問題,那我們可以將分式中的分母乘到等式左邊去,構造成一個關于x的二次函數,因為x的范圍是R,故問題轉化為等式在R上有解,即關于x的二次函數圖象與x軸有交點問題,在計算?≥0的過程中,發(fā)現y2可以提出來,進而轉變?yōu)榍蠼鈚2?4(2t?3)(2t?4)≥0,求得的的范圍也就是問題所要求的.在這個過程中我們發(fā)現y的取值對于解題并沒有影響,因此不妨令y=1,這樣解題步驟更簡潔,思路更明朗.

相關習題

習題8 已知x,y∈R,x2+xy+y2=6,求z=x2+y2的取值范圍___.

總結解齊次不等式的題目重在找出變量之間的關系,把握這種關系,并與學生已有的認知結構相關聯,架構出合理的解題思路,因此需要學生對必修一到必修五能做到心中有數,理清知識的脈絡,教師要重視幫助學生對不等式解題策略進行提煉、總結與反思,并在學生實際完成的情況下,有針對性的強化練習,課堂、課后給足時間讓學生進行一題多解的訓練,這樣,方能做到“以不變應萬變”.