安徽省寧國中學(xué)(242399) 湯生兵

題目1 如圖1所示,橢圓C:x2+3y2=3b2(b＞0).

圖1

(1)求橢圓的離心率.

(2)若b=1,A,B是橢圓C上兩點,且求△AOB面積的最大值.

解(1)略.(2)方法1 (常規(guī)解法)若直線AB斜率不存在,即AB⊥x軸時,則若直線AB斜率存在時,設(shè)AB方程為y=kx+m,從而

接下來找k和m的關(guān)系,因為

由①,②可知,

方法2 (基本不等式)

大家不難發(fā)現(xiàn),方法2巧妙利用了基本不等式解決面積最大值,是否存在“巧合”,接下來進行一般化,驗證是否仍然可以用.

題目2 已知橢圓點A,B為橢圓上兩點,求△AOB面積的最大值.

解若直線AB斜率不存時,設(shè)AB=h,則于是

當(dāng)h2=2b2時,

若直線AB斜率存時,設(shè)AB方程為y=kx+m,從而

又因為

有些學(xué)生會感到吃驚,基本不等式很神奇,其實此類題型利用基本不等式有前提條件,即它的分子必須是|m|,才能平方后與后面?m2相互抵消,等價于三角形必須有個頂點在原點,其它情況都不可以用,并且我們得到一個很好的結(jié)論S△AOB的最大值為以后遇到小題就可以秒殺,相當(dāng)?shù)陌詺?接下來利用上面結(jié)論解決題目3.

題目3 已知橢圓E:點A,B為橢圓上兩點,△AOB的面積為設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值.

解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),于是

由題目2可知:

又因為

總結(jié)通過上面三個題目,只要△AOB有一個頂點為原點,就可以用基本不等式求出它的最大值為若三個頂點都在橢圓上,初等數(shù)學(xué)很難解決,只能用高等數(shù)學(xué)將橢圓壓縮變換為單位圓去解決,得到最大值為就不一一闡述了.