湖南省會同縣第一中學(418300) 唐鵬久 于先金

題目(《不等式選講》4-5人教B版第24頁練習第3題)已知a,b,c是任意實數(shù),求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

這是一個關(guān)于a,b,c結(jié)構(gòu)簡潔、對稱優(yōu)美、應(yīng)用廣泛的經(jīng)典不等式,探究這個不等式的證法是一件有意義的工作,并使我們體會到數(shù)學的簡單美、對稱美、和諧美和奇異美.

一、利用重要不等式,感受簡單美

所謂簡單美,是指一個復雜問題的簡單解法.它是優(yōu)化解題思路的內(nèi)在驅(qū)動力因素之一.正如高斯對自己的工作的評價:“去尋求一種最簡的證明,乃是吸引我去研究的主要動力.”也就是說,數(shù)學美是指追求最容易、最清楚而且更經(jīng)濟的方法來解題.數(shù)學美,美在簡單、明了.

證法1 (巧妙配湊,簡單明了)因為所以原不等式成立.

證法2 (柯西登場,良性互動)由柯西不等式,得

從而

所以原不等式成立.

證法3 (排序原理,意外驚喜)由對稱性,不妨假設(shè)a≤b≤c,由排序不等式:“順序和”≥“亂序和”,得

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,故原不等式成立.

二、恒等變形,感受對稱美

對稱是最能給人以美感的一種形式.正如德國數(shù)學家、物理學家魏爾說:“美和對稱緊密相關(guān).”對稱不外乎局部與局部的對稱,幾何圖形與數(shù)學關(guān)系都存在這種對稱.體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)(式)結(jié)構(gòu)的對稱是對稱美,已知與結(jié)論的對稱使解題者感到愉悅.本題中的條件和結(jié)論都關(guān)于a,b,c對稱,由對稱性啟發(fā),可得不同的證法.數(shù)學美,美在對稱、整齊.

證法4 (作差配方,一目了然)因為

所以原不等式成立.

評注這種作差法,即作差—變形—定號的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想和數(shù)學的對稱美.

證法5 (恒等變形,配方分解)由對稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,那么

所以原不等式成立.

證法6 (借行列式,殊途同歸)由對稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,那么

所以原不等式成立.

三、確定主元,感受和諧美

和諧美或稱統(tǒng)一美,是指部分與部分之間、部分與整體之間的和諧一致,是指在不同的數(shù)學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律.統(tǒng)一性是數(shù)學美的重要標志,是數(shù)學家不懈追求的永恒目標,也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一.所以在數(shù)學解題中的信息轉(zhuǎn)換、分合并用、進退互化、正反相輔等方面都能暢通無阻,轉(zhuǎn)化為更加協(xié)調(diào)的形式,化歸為已經(jīng)解決的問題.所以和諧美既是條件與結(jié)論的和諧,又是數(shù)與形的和諧,更是解題方法與思維策略的和諧,還是數(shù)學思想與思維途徑的和諧.數(shù)學美,美在和諧、統(tǒng)一.

證法7 (為主元,配方顯然)因為

所以原不等式成立.

證法8 (構(gòu)造二次,判別式法)將

視為變量a的二次式,因其判別式

所以a2?(b+c)a+(b2+c2?bc)≥0,故原不等式成立.

證法9 (構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù))由對稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,令

由于f′(c)=2c?(a+b)≥0,于是函數(shù)f(c)在區(qū)間[b,+∞)上是增函數(shù).由c≥b,f(b)=b2?(a+b)b+(a+b?ab)=a+b?2ab=(a?b)2≥0,得f(c)≥f(b)≥0,所以原不等式成立.

四、證法新穎,感受奇異美

奇異與突變是一種奇特的數(shù)學美.奇異美是指所得出的結(jié)果新穎、獨特、奇特、出人意料,使人感到驚奇、贊賞與折服.徐利治教授說:“奇異是一種美,奇異到極度更是一種美.”在數(shù)學解題中,奇異性的存在使得構(gòu)造反例、尋求特例、反證、極端等手法能夠發(fā)揮出乎意料的作用,正難則反、以退求進、逆向思維、發(fā)散思維等可以認為是對奇異性的通俗理解.數(shù)學美,美在奇異、突變.

證法10 (增量換元,柳暗花明)由對稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,令b=a+x,c=a+y,所以由對稱性,y≥x≥0.由

所以原不等式成立.

證法11 (構(gòu)造向量,精彩呈現(xiàn))令m=(a,b,c),n=(b,c,a),因為|m|·|n|≥m·n,所以故原不等式成立.

證法12 (三角換元,膽大心細)因為

所以不妨設(shè)a,b,c≥0.令a2+b2+c2=r2(r≥0),所以可設(shè)所以

這個不等式的以上證法,真是“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”,從不同的視角有不同的證法,各顯神通.數(shù)學有味,數(shù)學好玩.

在數(shù)學解題中,數(shù)學美能給我們一種認識題意、探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的新角度、新方法和新思路,因而數(shù)學美是探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的源泉.簡單美、對稱美、和諧美和奇異美等數(shù)學美的各種表現(xiàn)形式在解題中不是孤立的,而是相互結(jié)合、相互滲透的.我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學美,而且要自覺運用數(shù)學美和追求數(shù)學美.