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        關(guān)于圓錐曲線單元教學(xué)的若干思考

        2018-08-08 07:32:58張俊剛
        新課程(下) 2018年6期
        關(guān)鍵詞:定義教學(xué)學(xué)生

        張俊剛

        (太原市第二十中學(xué)校,山西 太原)

        前段時(shí)間,筆者參加了市教科研中心組織的“升華杯”說課競賽,競賽課題是人教版選修1-1“圓錐曲線單元教學(xué)指導(dǎo)”。賽后,各位評(píng)委老師對(duì)此給出了較高的評(píng)價(jià),同時(shí)也提出了一些問題,筆者聽取了建議和意見后,感受頗深,故重新整理內(nèi)容,愿與同行交流。

        一、內(nèi)容分析

        1.選修1-1中的“圓錐曲線與方程”和必修2中的“直線與方程”“圓與方程”以及系列4中的選修4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”一起構(gòu)成了經(jīng)典的平面解析幾何內(nèi)容的主干,它是直線與方程、圓與方程內(nèi)容的延伸,也為后面學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與各種方程做好了準(zhǔn)備。所以,它在解析幾何中起著承上啟下的作用。

        2.本章內(nèi)容包含三種圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的內(nèi)容要求“理解”,雙曲線與拋物線的內(nèi)容要求“了解”。

        3.教學(xué)重點(diǎn)是圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì);教學(xué)難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡,橢圓的離心率,雙曲線的漸近線。

        二、學(xué)情分析

        1.在選修2中學(xué)生已學(xué)會(huì)建立直線、圓這兩種平面上最簡單的圖形的方程,并且通過研究它們的方程,研究它們的相關(guān)性質(zhì)及其位置關(guān)系滲透了坐標(biāo)法思想,現(xiàn)在延續(xù)坐標(biāo)法的思想學(xué)習(xí)圓錐曲線可能容易切入。另外在必修1、必修4學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中,學(xué)生也積累了研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),這也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線打下了基礎(chǔ)。

        2.從知識(shí)方面講,認(rèn)識(shí)圓錐曲線方程的推導(dǎo)與化簡,橢圓的曲線的離心率,雙漸近線;從方法方面講,由于圓錐曲線為二元二次方程,幾何性質(zhì)較為豐富,學(xué)生可能在運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理的過程中會(huì)有所困難。另外在解決問題的過程中,究竟是側(cè)重于從形切入,還是從數(shù)切入,可能出現(xiàn)判斷模糊的情況,即數(shù)形結(jié)合出現(xiàn)障礙。

        三、教學(xué)策略

        1.關(guān)于圓錐曲線定義教學(xué)的思考

        三種圓錐曲線定義教學(xué)都可以引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)歷動(dòng)腦,動(dòng)手作圖的過程,探究形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件,展現(xiàn)曲線的典型的幾何特征,在此基礎(chǔ)上,給出具有這種幾何特征的軌跡的正式名稱。同時(shí)充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能,幫助學(xué)生把握?qǐng)A錐曲線定義的本質(zhì),例如,課本42頁習(xí)題2.17:

        如圖一,圓O的半徑為定長R,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),如線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?

        再如課本42頁習(xí)題2.11:

        圖一

        如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中,總滿足關(guān)系式點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?為什么?

        2.關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的教學(xué)思考

        如果僅僅為了獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,學(xué)生活動(dòng)也可以結(jié)束,但是我們看看以下課本中的兩例題。

        課本35課頁:

        例3.如圖二,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)。直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是-,求點(diǎn)M的軌跡方程。

        課本41頁:

        例 6.如圖三:點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線l:x=的距離的比是常數(shù)求點(diǎn)M的軌跡。

        這兩例題讓學(xué)生體會(huì)到橢圓幾何特征的各種表現(xiàn)形式,但這與前面所學(xué)的定義之間是否有內(nèi)在聯(lián)系?這三種幾何特征是否可以統(tǒng)一呢?帶著這些疑問回顧前面橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程的片段:

        兩邊再平方:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

        整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

        其中有兩處可分別變形如下:

        通過這種引導(dǎo),讓學(xué)生了解橢圓的不同描述,豐富橢圓的概念,對(duì)橢圓的各種表述留下較為深刻的印象。反過來,這也使得單調(diào)、繁瑣的運(yùn)算過程變得生動(dòng)而有活力,為橢圓方程的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。更重要的是讓學(xué)生明白“變的是形式,不變的是本質(zhì)”這一科學(xué)道理。

        教材中的概念、公式、定理等多數(shù)都是以具有較強(qiáng)的抽象性、概括性的“學(xué)術(shù)形態(tài)”知識(shí)呈現(xiàn)出來的,這些知識(shí),有的是學(xué)生自我感覺就可以掌握的,有的則需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)。其中,對(duì)于學(xué)生理解起來困難的,教師不僅“要在宏觀上理清思路”,還“要在微觀上推敲細(xì)節(jié)”,同時(shí)合理地利用教材并對(duì)其進(jìn)行適度地“二次開發(fā)”,將其轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生理解的“教育形態(tài)”知識(shí),即生動(dòng)具體的、暴露實(shí)質(zhì)的“淺顯”知識(shí)。

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