張文斌 劉彥江 趙欣慶 丁冬彥

（甘肅省永登縣連鋁學(xué)校，甘肅 永登）

幾何畫(huà)板創(chuàng)設(shè)了一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，提供了一個(gè)理想的做數(shù)學(xué)的環(huán)境。學(xué)生可以從“聽(tīng)”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到“做”數(shù)學(xué)，即以研究者的方式，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內(nèi)的獲得知識(shí)的全過(guò)程。教師利用它打破了傳統(tǒng)的用尺規(guī)教學(xué)的方法。具有動(dòng)態(tài)直觀、數(shù)形結(jié)合、色彩鮮明、變化無(wú)窮的特點(diǎn)，能極大地增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是一只點(diǎn)石成金的金手指。

我們基于《幾何畫(huà)板》軟件探究出了《極坐標(biāo)思想在拋物線中的應(yīng)用》一課。課堂實(shí)錄如下：

幾何畫(huà)板展示定義（學(xué)習(xí)拋物線時(shí)已多次展示給學(xué)生。但這一次教師現(xiàn)場(chǎng)操作電腦鼠標(biāo)、鍵盤(pán)構(gòu)造拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程的圖像，展示大屏幕在黑板的右側(cè)）。

（1）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系。在y軸正半軸上任意選取一焦點(diǎn)F，并作出其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′。過(guò)點(diǎn)F′作y軸的垂線，即準(zhǔn)線l′。

（2）在準(zhǔn)線l′任意選取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線l″⊥l′.作線段DF的中垂線l，設(shè)直線l與直線l″相交于點(diǎn)G。

（用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)D，觀察點(diǎn)G的變化情況，在動(dòng)態(tài)中△GFD恒為等腰三角形，即

（3）同時(shí)選取D、G兩點(diǎn)，構(gòu)造點(diǎn)G的軌跡。即為以F為焦點(diǎn)，直線l′為準(zhǔn)線的拋物線。

圖一

幾何畫(huà)板展示拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程的圖像后，在黑板左上方偏下的位置板書(shū)拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=2py。

在拋物線第三標(biāo)準(zhǔn)方程下方板書(shū)：

例 1：過(guò)拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為 30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸左側(cè)），則

分析：在幾何畫(huà)板上，過(guò)切線l與準(zhǔn)線l′的交點(diǎn)作切線l的垂線，與射線GF相交于點(diǎn)A.選擇文本工具，將點(diǎn)G改為點(diǎn)B.用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)D、F，使直線AB的傾斜角滿足題意。發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)與p值無(wú)關(guān)的動(dòng)態(tài)中恒成立問(wèn)題。

解：由極坐標(biāo)的思想方法，可得

圖二

例 2：已知直線y=kx-2（k＞0）與拋物線C：x2=8y相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若，則k= （ ）

分析：在幾何畫(huà)板上，刪除無(wú)關(guān)點(diǎn)線，突出拋物線第三標(biāo)準(zhǔn)方程的主體圖形，保留動(dòng)點(diǎn)D及拋物線上的點(diǎn)B。在準(zhǔn)線l′上任意選取動(dòng)點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作直線與準(zhǔn)線l′垂直，設(shè)該直線與線段D′F的中垂線相交于點(diǎn)A。構(gòu)造直線AB。用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)F，使拋物線與題意吻合。拖動(dòng)點(diǎn)D、D′，使DB、D′A滿足題意且直線AB過(guò)點(diǎn)（0，-2）。發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)滿足多重條件的定值定點(diǎn)問(wèn)題。

解：由拋物線的定義，可得

圖三

FA=D′A，F(xiàn)B=D′B。

設(shè)，A（x1，y1），B（x2，y2），則x2=2x1，y2+2=2（y1+2）。

代入x2=8y得

本節(jié)課以拋物線為例，闡明極坐標(biāo)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用，基于幾何畫(huà)板在極坐標(biāo)方程教學(xué)中的應(yīng)用的新探索。本文充分體現(xiàn)了幾何畫(huà)板作圖，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，實(shí)現(xiàn)做數(shù)學(xué)的思想。