☉湖北省武漢中學(xué) 劉志江☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 李 俊

在教學(xué)中適度有效地開展數(shù)學(xué)實驗，不僅能使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識，更重要的是有助于提高他們的積極性，培養(yǎng)他們樂于思考探索的品質(zhì)，有利于提高他們動手操作及分析問題、解決問題的能力，是一種在新課程教學(xué)中值得借鑒的教學(xué)方法.以下介紹一次開展數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)過程.

在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)時，類比同底的指數(shù)函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像得到對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，筆者用卡西歐fx-CG20圖形計算器開展數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生動手、用心、入腦，并起到了事半功倍的效果.

我們的學(xué)生接觸圖形計算器時間不長，但同學(xué)們對新生事物天生有強烈的好奇心，在實驗的開始，在他們不斷摸索操作圖形計算器時，我給出了一些參考操作步驟，以下簡述操作過程（文字說明后的括號內(nèi)是相應(yīng)的順序按鈕操作）.

1.開機（ AC/ON ）.

2.切換到動態(tài)函數(shù)模式（ MENU6）（圖1）.

3.輸入函數(shù)y=A（x?ALPHA x，θ，T∧x，θ，T EXE）（圖2?）.?

圖1

圖2

圖3

圖4

5.設(shè)置變量A的初始值為0.1（ F40 1EXE）（圖4）.

6.設(shè)置變量A的開始值為0.1（ F20 1EXE）.

7.設(shè)置變量A的終止值為1.9（ 1 9EXE）.

8.設(shè)置變量A的變化步長為0.2（ 0 2EXE）（圖5）.

圖5

圖6

9.返回到上一頁面（ EXIT）.

10.設(shè)定動態(tài)速度為單步執(zhí)行（ F3 F1）（圖6）.

11.返回到上一頁面并進入查看窗設(shè)置頁面（EXIT SHIFT F3 ）（圖7）.

圖7

圖8

12.設(shè)定查看窗為初始窗并返回到上一頁面（F1 EXIT）.

13.進入動態(tài)圖模式（ F6）.

14.改變A的值，顯示函數(shù)y=Ax與y=logAx的動態(tài)圖（?或?）（圖8）.

同學(xué)們對圖形計算器的功能和作用產(chǎn)生了濃厚的興趣，部分同學(xué)通過研究后建議在上述圖中一并作出y=x的圖像，這樣可以更好地體現(xiàn)互為反函數(shù)的圖像對稱性，于是有了如下的圖像（圖9）.

圖9

圖10

通過變化A的值，感受A的變化對圖像的影響（圖11）.

圖11

由此，同學(xué)們從動態(tài)圖中得到了同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性等，甚至不同底的對數(shù)函數(shù)在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上的比較也一目了然.可見，圖形計算器作為輔助教學(xué)工具在教學(xué)中起到了非常好的效果，同學(xué)們在探究過程中對圖形計算器的操作也相當熟練了.

讓人驚喜的是，居然有同學(xué)提出關(guān)于同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，實現(xiàn)了“問題從學(xué)生中來，到學(xué)生中去”的良性循環(huán).

在了解了圖形計算器的操作基礎(chǔ)上，絕大部分同學(xué)得到了y=Ax與y=logAx圖像交點個數(shù)的結(jié)論：

1.當A大于某一介于1.4和1.5之間的數(shù)（以下記這個數(shù)為M）時，兩函數(shù)圖像沒有交點（圖12、13）；

圖12

圖13

2.當A等于M時，兩函數(shù)圖像有一個交點（圖14、15）；

圖14

圖15

3.當A在（1，M）上變化時，兩函數(shù)圖像有兩個交點（圖16、17）；

圖16

圖17

4.當在（0，1）上變化時，兩函數(shù)圖像有一個交點（圖18）.

圖18

但上面結(jié)論4是錯誤的，很多同學(xué)表示不相信，問題在哪兒呢？經(jīng)過研究，有同學(xué)把圖像放大了，有如下四個圖（圖19、20、21、22）.

圖19

圖20

圖21

圖22

看來有一個數(shù)N介于0.05和0.08之間，有：

（1）當A在［N，1）上變化時，兩函數(shù)圖像有一個交點；

（2）當A在（0，N）上變化時，兩函數(shù)圖像有三個交點；

所以，同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的交點個數(shù)情況如下：

1.當A＞M時，兩函數(shù)圖像沒有交點；

2.當A=M時，兩函數(shù)圖像有一個交點；

3.當A∈（1，M）時，兩函數(shù)圖像有兩個交點；

4.當A∈［N，1）時，兩函數(shù)圖像有一個交點；

5.當A∈（0，N）上變化時，兩函數(shù)圖像有三個交點.

至此，同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像的交點個數(shù)情況分類討論看似已結(jié)束，可是又有同學(xué)提出，上面的M和N這兩個數(shù)到底是多少？看來，問題如抽絲剝繭，被層層遞進，這樣就把函數(shù)另一相關(guān)知識點——“導(dǎo)數(shù)”被提出來了，同學(xué)們熱切期待著對這個相關(guān)知識點的探索與學(xué)習(xí).

可見，通過圖形計算器這個實驗平臺，讓學(xué)生們自己動手一起探索，促進了師生之間的交流合作，在探索過程中，教師有意識地將數(shù)學(xué)研究的思想方法滲透到教學(xué)過程中，學(xué)生思維活躍，研究容量大，圖形計算器的結(jié)合使用既提高了課堂效率，也豐富了學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的方法.在他們動手操作的同時，激發(fā)了他們的創(chuàng)造性思維，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)動手能力、表達能力、觀察能力和創(chuàng)新能力.

注：由導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識推理，上述M和N這兩個數(shù)分別如下：