☉江蘇省張家港市沙洲中學 洪曉鴿

極限思維是解決一些特殊數(shù)學問題的一種重要的數(shù)學思想.解題過程中，若能靈活地借助極限思想處理一些相關(guān)問題，利用從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，往往可以有效避開抽象、復雜的討論與運算，降低難度，優(yōu)化過程，進而得以快速破解問題，起到事半功倍的效果.

一、方程中的極限思維

例1 函數(shù)f（x）=lnx+ex的零點所在的區(qū)間可能是下面中的（ ）.

分析：通過計算，結(jié)合函數(shù)（fx）=lnx+ex在各選項中相應(yīng)點函數(shù)值的正負情況，結(jié)合根的存在定理得以確定零點所在的區(qū)間，而對于特殊點0，+∞，經(jīng)?？梢圆捎脴O限思維加以處理.

點評：本題主要考查根的存在性定理，函數(shù)的零點及其應(yīng)用.解決此類問題的方法技巧主要有兩種：（1）通過函數(shù)的圖象加以直觀確定；（2）結(jié)合根的存在定理加以運算判斷.利用極限思維來處理函數(shù)的零點問題，回避困難計算，以巧取勝.

二、函數(shù)中的極限思維

分析：常規(guī)方法是直接通過函數(shù)的解析式的特點來確定函數(shù)的圖象問題，判斷難度不小.而通過自變量x的取值的極限性來分析圖象的走勢，可以比較簡單快捷、直觀形象地確定答案.

故選擇答案：B.

點評：本題采用極限思維，通過自變量x的兩個變化極限所對應(yīng)的因變量y的取值情況，結(jié)合選項中的相關(guān)圖象來排除即可.極限思維在解決函數(shù)的圖象問題時，關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件，考慮相應(yīng)函數(shù)中的解析式、圖象、函數(shù)值等的極限取值，并結(jié)合所對應(yīng)的極限取值，利用函數(shù)的相關(guān)知識來解決，淡化函數(shù)的運算與變換過程，降低難度.

三、解析幾何中的極限思維

例3 （2016·浙江文·13）設(shè)點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右焦點.若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是______.

分析：采用常規(guī)方法求解難度比較大且計算繁雜，而從雙曲線的定義入手，通過分類討論，結(jié)合極限思維分別確定當∠F1PF2與∠F1F2P為極限值90°時，對應(yīng)關(guān)系式|PF1|+|PF2|所對應(yīng)的極端值，數(shù)形結(jié)合即可得到△F1PF2為銳角三角形時對應(yīng)關(guān)系式|PF1|+|PF2|的取值范圍.

解析：由題可得a=1，b= ■ 3 ，c=2，不失一般性，假定P是雙曲線1上第一象限內(nèi)的點，結(jié)合雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=2a=2，可得|PF1|=|PF2|+2，下面通過極限思維來討論：

（1）當∠F1PF2=90°時，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，整理則有|PF2|2+2|PF2|-6=0，解得|PF2|=-1（負值舍去），此時|PF1|+|PF2|=2；

（2）當∠F1F2P=90°時，由勾股定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，解得|PF2|=3，此時|PF1|+|PF2|=8；

而由題知△F1PF2為銳角三角形，結(jié)合極限思維并數(shù)形結(jié)合可得|PF1|+|PF2|∈（2，8），

點評：本題采用極限思維，根據(jù)曲線上的點的移動所對應(yīng)的直角三角形的極端元素入手，結(jié)合極端情況下所對應(yīng)的直角三角形的三邊之間的關(guān)系來轉(zhuǎn)化.極限思維在解決解析幾何問題時，可以結(jié)合極端元素條件下的解析幾何的相關(guān)知識來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，化一般為特殊，這樣操作起來思維清晰，難度降低，過程簡潔，最后又要從特殊回歸到一般，從而使得問題得以正確解答.

四、立體幾何中的極限思維

例4 正三棱錐S—ABC相鄰兩側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍是（ ）.

分析：直接處理存在一定的難度，而且非?？简炛庇^想象能力與分析問題處理問題的能力.而以動制靜，利用SO的大小變化極限思維來分析在兩個極端情況下，對應(yīng)的相鄰兩側(cè)面所成的角的取值情況，從而得以快捷判斷.

解析：在正三棱錐S-ABC中，如圖1所示，SO⊥底面ABC，O為正△ABC的中心，當SO→0時，此時正三棱錐S-ABC的高趨近于0，結(jié)合圖象可知，相鄰兩個側(cè)面的夾角趨近于π，當SO→+∞時，此時正三棱錐S-ABC的高趨近于+∞，結(jié)合圖象可知，此時正三棱錐S-ABC無限接近于一個正三棱柱，數(shù)形結(jié)合可知其相鄰兩個側(cè)面的夾角無限接近

故結(jié)合極限思維并數(shù)形結(jié)合可知，正三棱錐相鄰兩個側(cè)面所成角的取值范圍選擇答案：C.

點評：運用運動觀點、極限的思想去觀察、分析、處理問題，直接利用極端位置所對應(yīng)的角度來分析，省去空間幾何圖形的直觀想象，同時也省去相應(yīng)的運算求解，可達到意想不到的效果.

五、組合中的極限思維

分析：根據(jù)創(chuàng)新定義，結(jié)合組合數(shù)公式加以分析與判斷，同時解答時還要根據(jù)極限的思維加以分析.

點評：解決此類創(chuàng)新定義問題，必須按照一定的數(shù)學規(guī)則和要求，結(jié)合相關(guān)知識加以創(chuàng)新，同時按照一定的數(shù)學規(guī)則和要求、結(jié)合各相關(guān)數(shù)學知識加以邏輯推理和計算等，從而得以解決問題.而在處理過程中，有時非常規(guī)問題就得用非常規(guī)的方法，利用極限思維來處理相應(yīng)的取值極限，也是非常巧妙的方法.

其實，利用極限思想，在實際求解一些特殊數(shù)學問題時可以避免復雜運算，探索解題新思路，大有“撥開云霧見晴天”的美好感覺.特別在解決一些數(shù)學問題中，利用極限思維來考慮極端情形，可以以動制靜，簡化計算，化繁為易，達到巧妙、快捷、正確解答的目的，拓展思維，培養(yǎng)能力.