☉湖北省武漢市武鋼三中 孟工棋

不完全歸納推理又稱不完全歸納法，是以某類對(duì)象中的部分對(duì)象具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對(duì)象全部具有或不具有該屬性為結(jié)論的歸納推理.不完全歸納法在探求新知識(shí)的過程中具有極為重要的意義.平方數(shù)的判斷是初等數(shù)論中有趣的問題之一，兩個(gè)自然數(shù)的乘積是平方數(shù)，而這兩個(gè)自然數(shù)線性變換的乘積是否也為平方數(shù)呢？下面舉例說明判斷過程與不完全歸納推理在部分判斷過程中的應(yīng)用.判斷過程中主要用到了不等式、平方差公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、不完全歸納思想等知識(shí)點(diǎn).

一、問題的提出

若a，b是不相等的正整數(shù)，且ab為平方數(shù)，那么（a+2）b，（b+2）a，（a+2）（b+2）是否為平方數(shù)？

二、是否為平方數(shù)的判斷與推理

根據(jù)問題所給的條件，我們不妨規(guī)定正整數(shù)a＜b，ab=k2，k∈Ζ+，則a＜k＜b.

1.a（b+2）是否為平方數(shù)的判斷

因?yàn)閍＜k，所以2a＜2k＜2k+1.由于k2=ab，且a∈Z+，所以k2＜a（b+2）.另外，a（b+2）=ab+2a，且ab=k2，a＜k，則ab+2a＜k2+2k＜k2+2k+1=（k+1）2，即a（b+2）＜（k+1）2.可見a（b+2）介于平方數(shù)k2與（k+1）2之間，所以a（b+2）不可能為一個(gè)平方數(shù).

2.（a+2）b是否為平方數(shù)的判斷

假設(shè)（a+2）b為平方數(shù)，即（a+2）b=m2，m∈Z+，由于ab=k2，我們有

注意到（m-k）+（m+k）=2m為偶數(shù)，因此（m-k）與（m+k）同為奇數(shù)或偶數(shù)，而（m-k）（m+k）=2b為偶數(shù)，因此m-k，m+k都為偶數(shù)，不妨設(shè)

因?yàn)閗∈Z+，所以s≠t.

②式代入①式中有，2b=（2s）（2t），即b=2st.而ab=k2，故

3. （a+2）（b+2）是否為平方數(shù)的判斷

假設(shè)（a+2）（b+2）為平方數(shù)，即（a+2）（b+2）=m2，m∈Z+，則ab+2a+2b+4=m2，那么2a+2b+4=m2-ab=m2-k2，即

2a+2b+4=2（a+b+2）=（m-k）（m+k）. ③

與前面的討論類似，m-k與m+k同為奇數(shù)或偶數(shù).由③式可知，（m-k）（m+k）為偶數(shù)，因此m-k與m+k都是偶數(shù)，設(shè)

根與系數(shù)的關(guān)系可知，a與b是方程x2-（2st-2）x+（t-s）2=0

由此可見，（a+2）（b+2）是否為平方數(shù)主要取決于a，b的取值.

要使a，b都是整數(shù)，只需要

此時(shí)有

三、討論a，b的取值

由⑤式注意到當(dāng)s=1時(shí)，t=1，與④式中的t＞s矛盾，所以s≥2.

由上面的不完全歸納，我們猜想s=n時(shí)，p=2n，代入⑤式中解得t2=1+4n2（n2-1）=（2n2-1）2，即t=2n2-1.

將s=n，p=2n，t=2n2-1代入⑥式，有：

a=（st-1）-p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］-2n（n2-1）=n-1，

b=（st-1）+p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］+2n（n2-1）=4n3-3n-1.

則ab=（n-1）（4n3-3n-1），

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2，其中n≥2.

整理后得ab=（2n2-n-1）2，

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2.

此時(shí)，ab為平方數(shù)，（a+2）（b+2）也為平方數(shù).即當(dāng)a=n-1，b=4n3-3n-1（n≥2）時(shí)，ab和（a+2）（b+2）均為平方數(shù).

四、結(jié)論

綜上討論，當(dāng)ab為平方數(shù)時(shí)，a（b+2）與（a+2）b都不是平方數(shù)，而（a+2）（b+2）是否為平方數(shù)主要取決于a，b的取值.在討論a，b的取值時(shí)用到了不完全歸納推理，我們可以深刻地體會(huì)到不完全歸納推理的特點(diǎn)，從有限的特殊的規(guī)律中，猜測(cè)出一般的普適的規(guī)律，最后驗(yàn)證猜測(cè)的正確性，即結(jié)論所斷定的范圍超出了前提所斷定的范圍.不完全歸納推理結(jié)論的知識(shí)往往不只是對(duì)已有知識(shí)的簡(jiǎn)單推廣，而且還揭示出存在于無數(shù)現(xiàn)象之間的普遍規(guī)律性，給我們提供全新的知識(shí)，尤其是科學(xué)的普遍原理.所以，不完全歸納法在探求新知識(shí)的過程中具有極為重要的意義.J