付云鵬，王利香，袁學(xué)海

(1.遼寧大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 沈陽 110036 ；2.濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061；3.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024 )

自1965年L. A. Zadeh提出模糊集概念以來，以現(xiàn)實(shí)世界廣泛存在的模糊性為研究對(duì)象、模糊集合論為基本工具的新興學(xué)科得到了迅速發(fā)展．

Rosenfeld[1]在模糊集的理論基礎(chǔ)上提出模糊群的概念. Suzuki[2]引入了權(quán)的概念，從另一個(gè)角度刻畫了模糊子群.付云鵬等[3-4]研究了權(quán)與模糊化拓?fù)?、?quán)與反模糊子群之間的關(guān)系.Atanassov[5]引入了直覺模糊集的概念.林夢(mèng)雷[6]給出一個(gè)直覺模糊集為直覺模糊群的充要條件,引入直覺模糊群關(guān)于它的正規(guī)子群的誘導(dǎo)商集的概念.班喜光等[7-8]通過經(jīng)典集合上的模糊二元運(yùn)算定義了直覺模糊群并給出其兩種等價(jià)定義，討論直覺模糊群的性質(zhì).李選海等[9]研究直覺模糊群之間的關(guān)系,在直覺模糊群之間引入了同態(tài)的概念.李曉萍等[10]研究了關(guān)于T-S模的直覺模糊正規(guī)子群、超直覺模糊群,并在同態(tài)的意義下，得到了關(guān)于超直覺模糊群之間同態(tài)和同構(gòu)的結(jié)果. 付云鵬等[11]通過在模糊化拓?fù)渖隙x直覺權(quán)的概念，研究了該定義下直覺權(quán)的性質(zhì)，并且證明該直覺權(quán)可以導(dǎo)出一種直覺模糊化拓?fù)洌M(jìn)而證明了該直覺權(quán)與其所導(dǎo)出的直覺模糊化拓?fù)渲g的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

作者在前人研究成果的基礎(chǔ)上，以直覺模糊子群為研究對(duì)象，并以直覺模糊子群為定義域給出直覺權(quán)的定義，討論了論文定義下的直覺權(quán)和直覺模糊子群之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．

1 引理及預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)X為一個(gè)非空經(jīng)典集合，形如

A={|0≤μA(x)+νA(x)≤1}

的3重組稱為X上的一個(gè)直覺模糊集．其中：μA：X→[0，1] ，νA：X→[0，1]均為普通的模糊集；μA(x)，νA(x)分別表示x屬于A的隸屬度和非隸屬度.

令I(lǐng)FS(intuitionistic fuzzy set)[X]表示X上所有直覺模糊集構(gòu)成的集合．

定義2[5]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合,A,B∈IFS[X]，且有下面的形式

A={|x∈X},B={|x∈X}.

規(guī)定序及其運(yùn)算如下

(1)A?B?μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)，x∈X.

(2)A=B?μA(x)=μB(x)且νA(x)=νB(x)，x∈X.

(3)A∩B?{|x∈X}.

(4)A∪B?{|x∈X}.

若{Aj|j∈J}?IFS[X]，J為指標(biāo)集，Aj={|x∈X}，規(guī)定如下

定義3[2]設(shè)G是經(jīng)典群，G上的一個(gè)直覺模糊子集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G},如果滿足

(1)μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)}，νA(xy)≤max{νA(x),νA(y)},?x,y∈G;

(2)μA(x-1)≥μA(x),νA(x-1)≤νA(x),?x∈G.

則稱A為G上的一個(gè)直覺模糊子群．

令I(lǐng)FG(intuitionistic fuzzy group)[G]表示群G上的所有直覺模糊子群所構(gòu)成的集合．

定理1設(shè)G是經(jīng)典群，若A,B∈IFS[G]，則A∩B∈IFS[G]．

證明設(shè)A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G},B={〈x,μB(x),νB(x)〉|x∈G},由定義2知

A∩B={〈x,min{μA(x),μB(x)},max{νA(x),νB(x)}〉|x∈G}.

令σA∩B(x)=min{μA(x),μB(x)},τA∩B(x)=max{νA(x),νB(x)},則?x,y∈G，有

σA∩B(xy)=min{μA(xy),μB(xy)}≥min{min{μA(x),μA(y)},min{μB(x),μB(y)}}=

min{min{μA(x),μB(x)},min{μA(y),μB(y)}}=min{σA∩B(x),σA∩B(y)}．

同理，τA∩B(xy)≤max{τA∩B(x),τA∩B(y)}．

又因?yàn)?/p>

τA∩B(x-1)=min{μA(x-1),μB(x-1)}≥min{μA(x),μB(x)}=τA∩B(x),

τA∩B(x-1)=max{νA(x-1),νB(x-1)}≤max{νA(x),νB(x)}=τA∩B(x),

因此A∩B∈IFS[G]．

2 直覺權(quán)與直覺模糊子群

2.1 直覺權(quán)

注：定義4中直覺權(quán)的定義與文獻(xiàn)[11]中直覺權(quán)的定義其定義方式類似，都是從一個(gè)集合到L={(α,β)∈[0,1]×[0,1],0≤α+β≤1}上滿足一定條件的映射.但是定義4中映射的定義域是直覺模糊子群的集合，文獻(xiàn)[11]中映射的定義域是模糊化拓?fù)涞募?另外，模糊化拓?fù)浔举|(zhì)上也是一種映射，見定義5.

定義5設(shè)J：2X→[0,1]，若滿足

(1)J(X)=J(?)=1；

(2)J(A∩B)≥J(A)∧J(B)；

則稱J為X上的模糊化拓?fù)洌?/p>

定義6設(shè)G是經(jīng)典群，G上的一個(gè)直覺模糊子集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G}，如果滿足

(1)μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)}，νA(xy)≤max{νA(x),νA(y)}，?x,y∈G；

(2)μA(x-1)≥μA(x),νA(x-1)≤νA(x),?x∈G.

則稱A為G上的一個(gè)直覺模糊子群．

從定義5、6的對(duì)比可以看出直覺模糊子群并非一個(gè)模糊化拓?fù)?

引理1設(shè)w是G上的直覺權(quán)，?H,K∈φ，若H?K，則w(H)≥w(K)．

證明?H,K∈φ,若H?K，則w(K)=w(〈H∪K〉)=inf{w(H),w(K)}≤w(H).

設(shè)φ={H|H≤G}，A為G上的直覺模糊子群,L={(α,β)∈[0,1]×[0,1],0≤α+β≤1},定義映射wA如下

wA:φ→L，

引理2wA為直覺權(quán)．

(1)

(2)

欲證(1)、(2)式相等，只需證

事實(shí)上，對(duì)于(a)：?{∪gλ}?φ， 則

x∈〈∪gλ〉?x=xλ1…xλn,xλi∈gλi，

對(duì)于(b)：?{∪gλ}?φ，則x∈〈∪gλ〉?x=xλ1…xλn,xλi∈gλi，有

所以，有

所以，有

又因?yàn)?/p>

所以，有

從而wA是直覺權(quán)．

2.2 直覺模糊子群

引理3令w:φ→[0,1]×[0,1]，H令則Aw={〈x,μAw(x),νAw(x)〉|x∈G}為G的直覺模糊子群．

證明(1) 0≤μAw(x)+νAw(x)≤1(顯然)．

(2) 往證μAw(xy)≥min{μAw(x),μAw(y)}．

同理，?K∈φ(y)，使得μAw(xy)<α2,w(K)=(α2,β2)，于是μAw(xy)<α1∧α2.

(3) 往證νAw(xy)≤max{νAw(x),νAw(y)}.

另一方面，〈H∪K〉∈φ(x)∩φ(y)?φ(xy)，而

2.3 直覺權(quán)與直覺模糊子群的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

定理2設(shè)A是G上的直覺模糊子群，w是G上的直覺權(quán)，則

(1)wAw=w；

(2)AwA=A．

證明(1) ?H∈φ,往證wAw(H)=w(H)．令wAw(H)=(α1,β1),w(H)=(α,β)，往證α1=α,β1=β．

對(duì)?

?

(2) ?x∈G，往證AwA(x)=A(x)，即證μAwA(x)=μA(x),νAwA(x)=νA(x)，有

若″<″成立，則?t∈[0,1]，使得

(3)

令Ht={y∈G|μA(y)>t}，則Ht為G的子群．

事實(shí)上，?x,y∈Ht，則μA(x)>t,μA(y)>t．由A為G上的直覺模糊子群，則μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)}>t，故xy∈Ht;又因?yàn)棣藺(x-1)≥μA(x)>t，故x-1∈Ht.從而Ht為G的子群．

由(3)知x∈Ht，則Ht∈φ(x)，所以，?y∈Ht，使得μA(y)t矛盾，故μAwA(x)=μA(x)．同理，νAwA(x)=νA(x)，故AwA=A．