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        一類無限維Lie代數(shù)的不可約模

        2018-08-02 08:25:52姚廷富吳宗顯施妮沙戴先勝
        關(guān)鍵詞:反證法基元貴陽

        姚廷富,吳宗顯,施妮沙,戴先勝

        (1.貴陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550005;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550001)

        研究無限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容.研究一個無限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu),討論其表示即模,是Lie代數(shù)的主要研究課題. 文獻(xiàn)[1-4]討論了幾類無限維Lie(超)代數(shù)的結(jié)構(gòu)與相關(guān)導(dǎo)子.文獻(xiàn)[5]利用Lie代數(shù)模表示的性質(zhì)及誘導(dǎo)模給出了Cartan型Lie代數(shù)W(1,1)的不可約限制模只有p個同構(gòu)類,同時給出了不可約限制模的具體形式.文獻(xiàn)[6]利用廣義限制Lie代數(shù)的概念和性質(zhì),研究Cartan型Lie代數(shù)L的不可約表示,給出了特征標(biāo)高度h(2≤h

        1 Lie代數(shù)(G,[,])的基本知識

        定義1[9]設(shè)L為域F上的Lie代數(shù),V為域F上的向量空間,V被賦予一個運算L×V→V(記為(x,v)x·v)后,?x,y∈L;?v,w∈V;?a,b∈F.如果條件(i)~(iii)成立,則V被稱為域F上的一個L-模.

        (i) (ax+by)·v=a(x·v)+b(y·v);

        (ii)x·(av+bw)=a(x·v)+b(x·w);

        (iii) [x,y]·v=x·y·v-y·x·v.

        定義2[9]一個L-模V,如果它只有兩個子模,則稱L-模V為不可約的.

        定義3設(shè)為復(fù)數(shù)域,G為集合且

        當(dāng)且僅當(dāng)對所有的i,ai=bi.

        對α,β∈,定義

        顯然G成為一個線性空間.

        引理1[8]設(shè)G為定義3所述,括積運算如下

        則(G,[,])成為上的Lie代數(shù).

        2 Lie代數(shù)(G,[,])的不可約模

        命題1[8]設(shè)λ∈,令V=span{vi|i≥0}為可數(shù)無限維線性空間具有一組基{vi|i∈,i≥0}.對

        定義

        其中:對任意的a,b∈,二項式系數(shù)的一般定義為

        則V是一個G-模.

        命題2設(shè)λ∈,(G,[,])為引理1所述,V、G如命題1所述,則

        (i)V必定是一個忠實的G-模;

        (ii)V為不可約的G-模的充要條件是λ≠0.

        證明(i) 對任意的

        對V的任一基元vj(j≥0),有

        定義了G在V中的作用,且使V成為一個G-模.定義

        其中:φ(g)(vk)=g·vk,vk是V的任一基元,gl(V)是V上的線性Lie代數(shù).

        則φ是G的一個表示.下面證明φ是單射,從而φ是G的一個忠實表示,即V是一個忠實的G-模.

        事實上,設(shè)φ(g)=φ(h),則對V的任一基元vk(k≥0),有

        φ(g)(vk)=φ(h)(vk),

        即g·vk=h·vk,也即

        比較系數(shù),得ai=bi,-1≤i≤k.由于k的任意性,得ai=bi,?i≥-1.故g=h,即證得φ是單射.

        (ii) 先證必要性.采用反證法.設(shè)V為不可約的G-模,則必有λ≠0.若不然,λ=0,對任意的

        固定一個非負(fù)整數(shù)j,有

        a-1vj+1+a0jvj+a1j(j-1)vj-1+…+aj-1j!v1.

        注意到g作用到V的基元vj(j≥0)后,不再含有基元v0.

        令U=span{vi|i∈,i≥1},則U不含有基元v0,且由上述作用看出,g·U?U,故U是V的真子G-模,與V為不可約的G-模矛盾.因此,若V為不可約的G-模,則必有λ≠0.

        因為對任意的

        對V的任一基元vj(j≥0),有

        取gs=asXs∈G,as≠0,有

        由ks≠0,有

        又由asλ(s+1)!≠0,有

        v0∈V1.

        另取g-1=a-1X-1∈G,a-1≠0,有

        g-1·v0=a-1v1∈V1?v1∈V1,

        g-1·v1=a-1v2∈V1?v2∈V1,

        ?

        g-1·vk-1=a-1vk,k=1,2,3,….

        由數(shù)學(xué)歸納法知,v0,v1,v2,…,vk,…均屬于V1,即V的所有基元均屬于V1,即V1=V.即證得由λ≠0推得V是不可約的G-模.證畢.

        3 結(jié)束語

        從命題2的結(jié)果看出,無限維Lie代數(shù)G可以在可數(shù)基的線性空間V存在一個忠實表示,即忠實模,給出此模為不可約模的一個充要條件,為研究無限維Lie代數(shù)G及其子代數(shù)的性質(zhì)與表示提供了有益的啟示.

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