曠雨陽，李興華，黃寶勤

(安順學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，貴州 安順 561000)

偏微分方程的基本問題之一是研究各種邊值問題解的存在性.Sobolev空間[1-2]的引入為求解邊值問題提供了新的有效的途徑，用這種方法求出的解稱為弱解或廣義解[3-4].

研究弱解的存在性有很多方法，常用的有切片法、Galerkin方法、半群方法等[5-12].論文將應(yīng)用Galerkin方法證明此類Maxwell方程

弱解的存在唯一性.其中:Ω∈R3為有界區(qū)域且邊界?Ω∈C1，QT=Ω×(0,T]，ST=?Ω×(0,T] ，N為 ?Ω的單位外法向量，H=(H1,H2,H3)∈(L2(Ω))3為向量值函數(shù)，G(x,t)和H0(x)分別為給定的邊界條件和初始條件.

1 預(yù)備知識

定義1[4]如果賦范空間X到它的第二共軛空間X**的自然映射T是滿射的，則稱X是自反的，記作X=X**.

(1)‖An‖有界；

2 假設(shè)條件

H(2.1) (1) 設(shè)函數(shù)a(x,t)在QT關(guān)于t可微且存在常數(shù)r0,R0,使得

0

(2) 向量值函數(shù)G(x,t)滿足G(x,t)∈H1(0,T;H(curl,Ω)),Gt(x,t)∈(L2(QT))3.

(3)H0(x)∈H0(curl,Ω)∩(L(Ω))3.

(4)F(x,t)∈H1(0,T;H(dir,Ω)).

其中

H(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3},

H0(curl,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:×G∈(L2(Ω))3,N×G=0,x∈?Ω},

H(dir,Ω)={G(·)∈(L2(Ω))3:·G∈(L2(Ω))3}.

3 弱解的定義及近似解的構(gòu)造

定義3若向量值函數(shù)H(x,t)滿足： (1)H-G∈L2(0,T;H0(curl ,Ω))；(2) 對任意的函數(shù)K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有

則稱H(x,t)為問題(1)～(3)的弱解.

考慮如下初邊值問題的解的存在性

定義4若向量值函數(shù)H(x,t)滿足

(1)H∈L2(0,T;H0(curl,dir,Ω))；

(2) 對任意的函數(shù)K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，K(x,T)=0，a.e，x∈Ω，有

則稱H(x,t)為問題(4)～(6)的弱解,其中:H0(curl,dir,Ω)=H0(curl,Ω)∩H(dir,Ω).

首先考慮如下特征值問題

現(xiàn)構(gòu)造如下近似系列：對一個給定的正整數(shù)M>0，定義

(7)

(8)

(9)

djM(0)=hj,j=1,2,…,M.

(10)

根據(jù)常微分方程組解的存在性，(9)、(10) 為線性常微分方程的初值問題，故存在唯一的解，因此djM(t) 被方程組 (9)、(10) 所決定，且

4 弱解的存在唯一性證明

引理1假設(shè)H(2.1) 成立，則存在正常數(shù)c3和c4，有

(11)

(12)

其中:c3,c4僅依賴于已知數(shù)據(jù)，但不依賴于M.

(13)

(14)

(15)

定理3若假設(shè)H(2.1) 滿足，則問題 (1)～(3) 有唯一的弱解H(x,t)∈L(0,T;H0(curl,Ω))∩L(0,T;(L2(Ω))3)，進(jìn)一步有Ht∈(L2(QT))3.

對任一試探函數(shù)K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，滿足K(x,T)=0，有

(16)

當(dāng)sk→0時，由柯西不等式和引理1，有

類似地，當(dāng)sk→0時,有

因此，在(16) 式中，兩邊令sk→0，有

(17)

?QT(FM·Kk)dxdt，

故Is>0. 又

根據(jù)Banach-Semhaus定理，有

又對任意的試探函數(shù)K(x,T)=0，有

?QTat|×K*|2dxdt+?QTF·K*dxdt.

因此，有

(18)

由(17)、(18)式，有

?QTJ·Hdxdt.

(19)

現(xiàn)證明在QT中一致有J(x,t)=H(x,t). 對任意的向量w(x,t)∈(L2(QT))3，有

即

故?QT[J-w]·[H-w]dxdt≥0. 取w=H+δV，V∈L2(QT)為任意向量，δ為任意數(shù)，則-δ?QT[J-H-δV]Vdxdt≥0，由δ的任意性，有

?QT(J-H-δV)Vdxdt=0.

令δ→0，有?QT[J-H]·Vdxdt=0，由V的任意性，有

J(x,t)=H(x,t)，a.e，(x,t)∈QT，

這就證明了解的存在性.

下面證明解的唯一性：設(shè)H1(x,t)和H2(x,t)為問題(1)～(3)的兩個弱解，令

H(x,t)=H1(x,t)-H2(x,t)，

則對任意的試探函數(shù)K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，有

?QT[-H·Kt+a(x)(×H)·(×K)] dxdt=0.

令

(x,t)∈QT，

則K(x,t)∈H1(0,T;H0(curl,Ω))，且K(x,T)=0，(K(x,t))t=-H(x,t)，×H=-×(K(x,t))t，故因為×K(x,T)=0,x∈Ω，故