何曉紅

(衢州廣播電視大學(xué) 教務(wù)處,浙江 衢州 324000)

不加特殊說(shuō)明, 都設(shè)

n∈N,n≥2,a=(a1,a2,…,an)n∈(0,+)n.

論文將研究關(guān)于n個(gè)正數(shù)的k次Hamy平均的雙向優(yōu)化不等式, 其系數(shù)具有最佳性.

1 有關(guān)引理

以下設(shè)集合D?Rn是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱凸集, 對(duì)于i=1,2,…,n, 記

引理1[6-7]設(shè)區(qū)間I?

若對(duì)引理1進(jìn)行函數(shù)變換可得引理2, 詳細(xì)證明參考文獻(xiàn)[6-7].

引理2[6-7]設(shè)區(qū)間I?(0,+),為對(duì)稱函數(shù), 且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若不等式x1?f/?x1>(<)x2?f/?x2在上恒成立, 則對(duì)任意的a∈In, 都有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an, 其中：

證明設(shè)

H={lna=(lna1,lna2,…,lnan)|a∈In},g:y∈H→f(ey1,ey1,…,eyn),

則

引理3設(shè)k,n∈N且3≤k≤n,b2,b3,…,bn>0,且b2≤bi(3≤i≤n), 有

證明對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法, 當(dāng)n=3時(shí), 命題易知為真.假設(shè)命題對(duì)于n-1成立, 當(dāng)n≥4時(shí), 設(shè)

有

根據(jù)假設(shè)

有

所以,f(b2,b3,…,bn)關(guān)于bn是單調(diào)增加函數(shù), 同理可證f(b2,b3,…,bn)關(guān)于bi(i=3,4,…,n)是單調(diào)增加函數(shù), 有

引理3證畢.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)n,k∈N,n≥2,1≤k≤n,a=(a1,a2,…,an)n∈(0,+)n，a的k次Hamy平均為則

(1)

證明當(dāng)n=2或k=1或k=n, 定理1顯然為真. 下設(shè)n≥3.

(i) 在3≤k≤n-1情形下, 下面給出(1)式左式的證明.

設(shè)f:a∈(0,+)n→qAn(a)+(1-q)Gn(a)-σn(a,k), 則

根據(jù)對(duì)稱性,有

由引理2知, 對(duì)任意a∈(0,+)n, 都有即

σn(a,k)≤qAn(a)+(1-q)Gn(a)

成立.

(ii) 在3≤k≤n-1情形下, 下面給出(1)式右式的證明.

只要證

(2)

又因?yàn)?/p>

所以,只要證

?

(iii) 在k=2的情形下, (1)式等價(jià)化為

它的左右式證明分別類似以上兩種, 而且在記法會(huì)簡(jiǎn)潔許多, 在此不再重復(fù).

(iv) 下證q和p的最佳性.

取特例a=(1,1,…,1,t)(t>0,t≠1), (1)式的右式化為

取特例a=(1,1,…,1,t)(t>0,t≠1), (1)式的左式化為

當(dāng)t→+時(shí), 比較上式t的最高次方, 有