劉明

摘 要 針對(duì)線性代數(shù)課時(shí)短、難度大導(dǎo)致的教學(xué)效果不理想問題，不同于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，本文提出了一種突出實(shí)用特性的線性代數(shù)教學(xué)方法。通過理論聯(lián)系實(shí)際的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的主動(dòng)性，提高學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)公式的直觀認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的有效提升。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 實(shí)用特性 教學(xué)方法

0 引言

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，同微積分一樣，是一門重要的數(shù)學(xué)課程。它是處理矩陣和向量空間的數(shù)學(xué)分支，是一門非常有效的工具學(xué)科，在現(xiàn)代科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。[1-2]

線性代數(shù)是工科各專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)理論課，是學(xué)生后續(xù)進(jìn)行科學(xué)研究和工程實(shí)踐必須掌握的基礎(chǔ)課程。可以說，線性代數(shù)已經(jīng)滲透入了生產(chǎn)和生活中的方方面面，在關(guān)系國(guó)計(jì)民生、國(guó)防安全、航空航天等重要領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用。[3-4]由于該課程在本質(zhì)上是一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而且學(xué)時(shí)少、內(nèi)容多、難度大，[5-6]對(duì)于這種性質(zhì)的課程，單純依靠授課老師以傳統(tǒng)方式進(jìn)行授課，很難取得滿意的教學(xué)效果，容易使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性至關(guān)重要。已經(jīng)有諸多學(xué)者提出了結(jié)合MATLAB進(jìn)行線性代數(shù)的教學(xué)方法，并取得了一定程度教學(xué)效果的改善。[7]然而，除了在教學(xué)手段上采用傳統(tǒng)板書教學(xué)與多媒體課件相結(jié)合的方式以外，還需要在教學(xué)設(shè)計(jì)上狠下功夫，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，積極開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，這是提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的必經(jīng)之路。

1 線性代數(shù)學(xué)科的特點(diǎn)

線性代數(shù)這門課程概念很多，內(nèi)容抽象難懂，且學(xué)習(xí)內(nèi)容前后聯(lián)系非常密切，概念、性質(zhì)、運(yùn)算法則多而雜。大部分學(xué)生為了應(yīng)付考試，主要是依靠大量做題來提高成績(jī)，而對(duì)于數(shù)學(xué)思想和理念，則感到茫然無措，無法深入理解線性代數(shù)的精髓。

線性代數(shù)是目前很多非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程之一，如電子信息類專業(yè)、通信工程類專業(yè)、計(jì)算機(jī)機(jī)科學(xué)類專業(yè)、機(jī)械工程類專業(yè)、控制科學(xué)類專業(yè)、航空航天類專業(yè)等，是相關(guān)專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)、博士研究生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。各個(gè)階段的學(xué)生畢業(yè)以后，無論后續(xù)從事科學(xué)研究還是工程設(shè)計(jì)工作，均與線性代數(shù)息息相關(guān)，其已經(jīng)滲透進(jìn)了我們生活和工作中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴。在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，線性代數(shù)課程的地位和作用顯得更為重要。由于線性代數(shù)問題廣泛存在于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，而某些非線性問題在一定條件下也可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因此線性代數(shù)的理論和方法得到了廣泛的應(yīng)用。但是，線性代數(shù)的高度抽象性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性讓許多大學(xué)生望而生畏，感到枯燥乏味，很難產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，大多學(xué)生僅僅是為了應(yīng)付考試而進(jìn)行被動(dòng)學(xué)習(xí)。

欲使學(xué)生學(xué)好線性代數(shù)，強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣是核心所在，作為主講老師需要從根本上改善數(shù)學(xué)學(xué)科的繁難、枯燥、乏味等負(fù)面特點(diǎn)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中能享受到樂趣。線性代數(shù)是一門思維抽象且邏輯性強(qiáng)的學(xué)科，課堂上如何使抽象的概念通俗化、復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)明化，在有限的時(shí)間里，如何使學(xué)生的邏輯思維得到最大限度的訓(xùn)練，讓學(xué)生生動(dòng)直觀地感受到線性代數(shù)強(qiáng)大的力量和魅力所在。

2 突出實(shí)用特性的線性代數(shù)教學(xué)

雖然線性代數(shù)的本質(zhì)為數(shù)學(xué)課程，但如果按照傳統(tǒng)的教學(xué)思路進(jìn)行授課，只是針對(duì)課程中的數(shù)學(xué)定義、概念和理論進(jìn)行授課，則無法從根本上改善數(shù)學(xué)學(xué)科的繁難、枯燥、乏味等負(fù)面特點(diǎn)，從而很難避免讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更是無從談起。

如果能夠突出線性代數(shù)的實(shí)用特性，使學(xué)生生動(dòng)真切的感受到線性代數(shù)的力量和魅力，結(jié)合具體的實(shí)際應(yīng)用背景，則較為容易激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生覺得學(xué)有所用，感受到學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的必要性。那么為線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容找到具體應(yīng)用的實(shí)例，是理論結(jié)合實(shí)際進(jìn)行線性代數(shù)教學(xué)的重中之重，授課教師需要在這方面下功夫鉆研，使得實(shí)際應(yīng)用的例子能完美無縫地銜接進(jìn)授課內(nèi)容當(dāng)中。

一種非常有效的方式就是教師將其自身的科研應(yīng)用引入到課堂教學(xué)當(dāng)中。教師對(duì)自己課題的研究都相當(dāng)深入，對(duì)線性代數(shù)在具體應(yīng)用中的物理意義理解透徹，可以達(dá)到深入淺出講解抽象定義和概念的目的。此外，由于教師自身對(duì)應(yīng)用背景較為熟悉，也容易激發(fā)學(xué)生開展鉆研相關(guān)領(lǐng)域研究的興趣，為后續(xù)研究生求學(xué)或相關(guān)領(lǐng)域求職打下基礎(chǔ)。以下通過本課題組科研項(xiàng)目中用到的一個(gè)科研實(shí)例對(duì)矩陣部分的基礎(chǔ)定義和概念開展分析。

2.1 矩陣的相關(guān)概念

矩陣：由m譶個(gè)元素aij（i=1， 2， …， m； j=1， 2， …， n）排成的m行n列數(shù)表，稱為一個(gè)m譶矩陣，記為：

其中，aij稱為該矩陣第i行第j列的元素，也可稱為矩陣A的第（i， j）元。

方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為方陣。

矩陣的轉(zhuǎn)置：將矩陣A的各行變成同序數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT。

對(duì)稱矩陣：設(shè)A=（aij）為n階方陣，若AT=A，即aij=aji，（i， j=1， 2， …， n），稱A為對(duì)稱陣。

單純的數(shù)學(xué)定義無法使學(xué)生產(chǎn)生直觀的認(rèn)識(shí)，死記硬背概念和公式不但會(huì)使學(xué)生本能的產(chǎn)生厭學(xué)心理，更為重要的是，即使暫時(shí)記住了概念和公式，由于無法理解其深入的含義，過一段時(shí)間也會(huì)忘記。

2.2 目標(biāo)識(shí)別中矩陣的應(yīng)用

在圖像處理、數(shù)據(jù)分類與聚類分析、飛行器設(shè)計(jì)、自動(dòng)控制、目標(biāo)識(shí)別領(lǐng)域中，矩陣的應(yīng)用隨處可見，以下以SAR圖像目標(biāo)識(shí)別中的一個(gè)例子對(duì)矩陣的應(yīng)用進(jìn)行說明。識(shí)別時(shí)可通過近鄰矩陣的構(gòu)建描述數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)信息的有效捕獲與保持，為高精度識(shí)別提供基礎(chǔ)。將近鄰矩陣P的每一個(gè)元素Pst建模為以下形式：

（1）

其中，vs和vt表示數(shù)據(jù)集中的第個(gè)和第個(gè)樣本，=1，2，3…，表示SAR圖像的訓(xùn)練樣本總數(shù)，exp[Y宂表示指數(shù)函數(shù)，為常數(shù)，實(shí)際中可通過交叉驗(yàn)證方法確定，表示樣本vt的個(gè)近鄰點(diǎn)，表示樣本vs的個(gè)近鄰點(diǎn)。表征了樣本vs和vt的局部結(jié)構(gòu)信息，可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)在本質(zhì)特性的準(zhǔn)確描述。仔細(xì)觀察公式（1）可以發(fā)現(xiàn)，如果樣本vs和vt的距離較近，則對(duì)應(yīng)公式（1）的權(quán)值較大，如果樣本vs和vt的距離較遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)公式（1）的權(quán)值較小。通過構(gòu)建融入公式（1）的目標(biāo)函數(shù)，即可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)局部結(jié)構(gòu)的有效描述。高維空間距離相近的目標(biāo)樣本，在經(jīng)過降維處理后，在低維空間里相應(yīng)樣本之間的距離仍然較近。數(shù)據(jù)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征得到了準(zhǔn)確的描述和保持，為高精度的SAR圖像目標(biāo)識(shí)別提供了基礎(chǔ)，有效減弱了目標(biāo)SAR圖像的方位角敏感特性。

仔細(xì)觀察公式（1）可以發(fā)現(xiàn)，公式（1）表示的矩陣為一個(gè)對(duì)稱矩陣，因?yàn)镻=PT，滿足對(duì)稱矩陣的定義。從其物理意義可知，其既可以實(shí)現(xiàn)樣本vs和vt之間關(guān)系的描述，也可以實(shí)現(xiàn)樣本vt和vs之間的關(guān)系描述，因?yàn)檫@兩個(gè)樣本在空間中的分布是確定的。

通過近鄰矩陣對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述后，可通過分類器實(shí)現(xiàn)識(shí)別。通過這個(gè)具體實(shí)際應(yīng)用中的例子，不僅可以使學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)定義中擺脫出來，更重要的是讓學(xué)生不再迷茫困惑。然而需要說明的是，在教學(xué)中也不宜引入過為復(fù)雜的矩陣應(yīng)用，因?yàn)閺?fù)雜的應(yīng)用和推導(dǎo)又容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，或者使得學(xué)生陷入復(fù)雜的應(yīng)用背景研究，而忽略了線性代數(shù)本身的學(xué)習(xí)。

3 結(jié)論

為克服線性代數(shù)教學(xué)過程中不可避免的概念定義多、抽象難懂的問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，本文提出一種突出實(shí)用特性的線性代數(shù)教學(xué)方法，通過理論教學(xué)與科研實(shí)際中的具體應(yīng)用背景中涉及的線性代數(shù)知識(shí)相結(jié)合的辦法，使得學(xué)生對(duì)枯燥抽象的數(shù)學(xué)概念有較為生動(dòng)的理解和掌握，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

參考文獻(xiàn)

[1] 王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009.25（1）：200-203.

[2] 陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計(jì)算結(jié)成好伙伴.大學(xué)數(shù)學(xué)，2010.26（1）：28-34.

[3] 趙文.線性代數(shù)教學(xué)的實(shí)踐與探索.軍隊(duì)院校數(shù)學(xué)課程創(chuàng)新教學(xué)研討會(huì)，2012-07-01.

[4] 李玲.工科線性代數(shù)教學(xué)的思考與體會(huì).黑龍江科技信息，2012（11）：187-187.

[5] 李煒.淺談工科線性代數(shù)的教學(xué).杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.2（1）：50-52.

[6] 楊磊.淺談線性代數(shù)案例教學(xué)法的幾點(diǎn)體會(huì).高校理科研究，2010（20）：536-537.

[7] 馬建榮，劉三陽，高淑萍，陳懷琛，楊威.用MATLAB增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)效果的實(shí)踐與探索.大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇，2008-11-08.