李蘭平

摘 要 不定積分是高等數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容，作者詳細闡述了六階段研討式教學模式在不定積分教學中的應用，并結(jié)合教學實踐交流了一些心得體會。

關(guān)鍵詞 研討式教學法 不定積分 教學模式 應用 體會

0 引言

微積分教學中，不定積分的計算是相當重要的。但是求不定積分思維方法多種多樣，學生難以靈活運用，所以，在講完不定積分計算的各種方法后，為了更注重每個學生的特點及學習情況，對學生進行個別性的指導，調(diào)動學生的學習積極性，創(chuàng)造一個在合作環(huán)境下進行探索，研究的機會，以小班（36人）為單位，探索了研討式教學法在不定積分教學中的應用。

研討式教學法堅持以學生為本，綜合培養(yǎng)學生的核心能力，科學思維和良好素質(zhì)的教學理念。[1]國內(nèi)多所大學的教學中已廣泛開展了研討式教學的研究和應用，獲得了積極的效果。 有些研究者分別提出了針對英語、國際貿(mào)易、衛(wèi)生微生物學等課程的研討式教學法。[2-4]

但是還未見有學者將研討式教學法應用到微積分課程的教學。為此本文將參考郭漢民在文獻[5]提出的“五步”教學法以及孟凡磊等在文獻[6]中提出的“六步式”研討教學模式，提出“六步式”微積分研討式教學法。為闡述方便，本文將以不定積分教學為例說明新的教學法的實施過程。

1 “六步式”微積分研討式教學法

在這一部分，我們將重點闡述“六步式”微積分研討式教學法的具體實施過程。以不定積分教學為例，該研討式教學法需要教師和學生依照以下六個步驟共同完成教學。具體操作方法如下：

1.1 布置題目

教師講解完不定積分計算的方法：第一，直接積分法，被積函數(shù)經(jīng)過整理、恒等變形后根據(jù)不定積分運算法則和積分公式求出原函數(shù)；第二，第一類換元積分法（湊微分法）；第三，第二類換元法（變量代換法）；第四，分部積分法；第五，有理函數(shù)積分法。但學生在學習完這部分內(nèi)容后，會遇到相當棘手的問題，如何去選擇一個適當?shù)姆椒ㄓ嬎闫浣Y(jié)果。由此就不定積分計算的三類基本方法，第一類換元積分法，第二類換元法，分部積分法進行深入討論研究，幫助學生掌握每類方法的精髓。

1.2 確定方案

為了讓所有學生都能參與到討論中，結(jié)合學生的情況，小班分成六個小組（每組6人），兩組各自獨立研究第一類換元積分法，兩組各自獨立研究第二類換元法，兩組各自獨立研究分部積分法。每組派一名組員介紹所研究不定積分方法的適用對象和處理方法；一名組員介紹計算時所需注意的問題；兩名組員分別引入1個典型的例題；一名組員負責回答其他組員的提問；最后一名組員歸納總結(jié)。

1.3 閱讀文獻或觀看教學視頻

第三步在課后實施。引導學生觀看慕課，數(shù)學考研視頻，或者參閱微積分精品課程，微積分習題集，微積分考研題等等。為解決文獻收集難、閱讀難和研究焦點不集中的問題，為學生挑選適合閱讀的文獻，并在文獻中標記重點閱讀的部分，并提供文獻答疑。5篇第一類換元積分法文獻，分別為：楊戀波《對不定積分湊微分法解法的再認識》；鄒小云《對不定積分換元積分法的再認識》；俞超群《不定積分中湊微分的教學探討》；高靜《第一類換元積分法（湊微分法）教學方法的初探》；張瑛，付雪豪《不定積分的湊微分法求解》。5篇第二類換元積分法文獻，分別為：景慧麗《一道不定積分題的多種解法》；吳維峰《對不定積分一題多解的分析》；陸生琪《不定積分求解技巧解析》；張麗娟，何珊珊，王福昌等《不定積分計算中一類有用的變量代換》；郭鵬云，云文在，田強等《不定積分解法研究》。5篇分部積分法文獻，分別為：何素艷，曹宏舉，萬麗英《一類不定積分的分部積分法》；陶碩，夏天《分部積分的“十字”口訣方法》；劉芳《不定積分中分部積分法的新探究》；范梅《不定積分的分部積分法探究》；上宏昌《關(guān)于不定積分的分部積分法運算技巧》。

1.4 設計實施

第四步在課外實施，每個小組建立一個QQ群或者微信群，教師參與到每個群，隨時跟進了解或指導小組成員的研究情況。關(guān)注組員在文獻閱讀中是否有疑點；研究同一內(nèi)容的兩個小組是否出現(xiàn)了雷同的例題；例題的選取是否有典型性；難易程度是否恰當?shù)鹊取?/p>

1.5 成果研討

第五步在課上實施，由教師主持，各小組成員通過PPT等工具演示和講解自己的成果。

1.5.1研究第一類換元積分法的小組成果研討

第一個學生介紹：第一類換元積分法是引入中間變量，把原來對自變量的積分變?yōu)閷Φ姆e分。即

。主要適用于被積函數(shù)是復合函數(shù)的不定積分，要掌握這種方法需要熟記一些函數(shù)的微分公式。

，等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達式中拼湊出合適的微分因子。

第二個學生闡述，用湊微分求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)尋找導數(shù)項內(nèi)容，同時為下一步積分作準備，當實在看不清被積函數(shù)的特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導，嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如，拿出求導，，然后就可以找到解題思路。

第五個學生回答其他組成員的提問。第六個學生總結(jié)了湊微分法的要點是：根據(jù)被積函數(shù)的特點湊出中間變量及其微分形式，從而將積分化為推廣的積分表的形式即sin（（））（（）），……的形式，應用這種方法必須熟悉怎樣將某些函數(shù)移進微分號內(nèi)。

1.5.2研究第二類換元法小組展示研討成果

第一個學生介紹第二類換元積分法主要是引入變量，把原來關(guān)于自變量的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新自變量的積分，即如果積分不易計算，可設，上式變?yōu)?，。第二個學生闡述，第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式，比如以下幾種無理式及對應代換方法：（1）。

第五個學生接受其他組成員的自由提問。第六個學生指出，要熟記第二類換元積分法的幾種基本類型，會用第二換元積分法去求一些不定積分。如果被積函數(shù)含有根式，考慮用第二類換元積分法。

1.5.3研究分部積分法小組展示研究成果

第一個學生介紹分部積分法公式，，主要類型為，直接分部化簡積分或者分部產(chǎn)生循環(huán)式，由此解出積分式。第二個學生闡述分部積分法適用于被積函數(shù)是兩個不同類型的函數(shù)乘積的不定積分。求不定積分的關(guān)鍵是要確定，由計算的經(jīng)驗，可以得出以下順序“反三角，對數(shù)，冪，三角，指數(shù)”型函數(shù)，當兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為。如，等等。第三個學生舉例，

第五個學生接受其他組員的自由提問。第六個學生分部積分計算方法歸納總結(jié)，如果要多次使用分部積分法，則注意前后的所設函數(shù)類型必須一致；即第一步選用三角函數(shù)構(gòu)造，則第二次使用分部積分法時，必須也用三角函數(shù)構(gòu)造；不定積分一般綜合使用換元法與分部積分法計算不定積分。

1.6 成績評定

教師和每個小組長通過量化計分法評定各組在知識點的講述，例題的選取，知識點的總結(jié)與推廣，回答自由提問等各個環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，并要求每個學生就某一種極限計算方法，參照文獻中文章的格式，撰寫一篇論文。論文的成績，研究成果展示的成績，作為平時成績的一個依據(jù)。

2 小結(jié)

研討式教學法在不定積分計算中的應用，可以實現(xiàn)以下目標：第一，以“學生為本”的觀念，體現(xiàn)學生在教學活動中的主體地位；第二，每個學生參與到研討中，有助于達到最近發(fā)展區(qū)；第三，教師可以了解到學生對每種方法理解和運用的程度；第四，有助于平時成績的評定，成績評定公平化；第五，學生從文獻中學習，有助于拓寬知識面，加深對知識點的理解。

參考文獻

[1] 田管鳳.研討式教學法的應用探索[J].大學教育，2013（1）：25-26.

[2] 王旭蓮.高職院校大學英語教學中TEAM研討式教學法的探索[J].職業(yè)技術(shù)教育，2017（8）：40-42.

[3] 韓琳琳.討論式教學法在國際貿(mào)易課程教學中的應用[J].教育與職業(yè)，2013（35）：156-157.

[4] 封少龍，曹朝暉，胡小波，等.討論式教學法在衛(wèi)生微生物學理論教學中的運用[J].中國病原生物學雜志，2014（7）.

[5] 郭漢民.探索研討式教學的若干思考[J].湖南師范大學社會科學學報，1999.6（2）：108-111.

[6] 孟凡磊，劉濤，崔偉成，等.理工科專業(yè)課“六步式”研討教學模式[J].高等理科教育，2015（3）：85-89.