☉江蘇省睢寧縣第二中學(xué) 朱 振

最近有機(jī)會(huì)參加了某地“三角形內(nèi)角和”同課異構(gòu)教研活動(dòng)，由于本次開(kāi)課教師都是工作3年以內(nèi)的初任教師，老師們也是限時(shí)獨(dú)立備課后再上課的，基本體現(xiàn)了這些初任教師當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)基本功.本文先整理三個(gè)課例的主要教學(xué)流程，并給出教學(xué)評(píng)析，提供研討.

一、“三角形內(nèi)角和”同課異構(gòu)課例

課例(一)

教學(xué)環(huán)節(jié)1 新課導(dǎo)入

復(fù)習(xí)回顧三角形的基本知識(shí)，前一階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了與三角形有關(guān)的線段，本節(jié)課開(kāi)始研究與三角形有關(guān)的角.三角形有三個(gè)內(nèi)角，他們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？三角形內(nèi)角和為180°.教師提問(wèn)：怎么證明這一結(jié)論呢？

教學(xué)組織：教師通過(guò)復(fù)習(xí)與三角形有關(guān)的線段過(guò)渡到與三角形有關(guān)的角，構(gòu)成知識(shí)體系.通過(guò)提問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生思考.

教學(xué)環(huán)節(jié)2 探究發(fā)現(xiàn)

師：在小學(xué)我們是如何通過(guò)剪拼得到“三角形內(nèi)角和為180°”的？

教學(xué)組織：學(xué)生小組動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)多種拼合方法，小組代表上臺(tái)展示.每種方法展示后，其他小組同學(xué)思考證明方法，教師在評(píng)析之后再規(guī)范推理論證的步驟書寫，最后由學(xué)生整理證明方法.得到三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

教學(xué)環(huán)節(jié)3 例題教學(xué)

學(xué)生完閱讀例1并思考，由學(xué)生分析題目，提出思路并整理過(guò)程.

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數(shù).

圖1

圖2

例2 如圖2，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？

教學(xué)組織：例1的教學(xué)比較常規(guī)，教師組織學(xué)生得出答案后就進(jìn)入例2的教學(xué).教師先將例2中的實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何問(wèn)題，比如師生合作明確出“∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠CBE＝40°，求∠ABC和∠ACB的度數(shù)”.沒(méi)有給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，教師就幫助學(xué)生分析：連接點(diǎn)A，B，C構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角.若求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.最后由學(xué)生整理過(guò)程.

教學(xué)環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)與作業(yè)（略）

課例（二）

教學(xué)環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

在課堂的一開(kāi)始，讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一張小三角形紙片，提出問(wèn)題：“三角形的內(nèi)角和為多少？”因?yàn)閷W(xué)生小學(xué)時(shí)候已經(jīng)接觸到三角形內(nèi)角和為180度，這里主要是讓學(xué)生利用手中的三角形紙片來(lái)探究出三角形內(nèi)角和為什么是180度.從而引出本課要研究的內(nèi)容：三角形的內(nèi)角.

教學(xué)環(huán)節(jié)2 小組討論，證明定理

通過(guò)學(xué)生小組交流討論，得到兩種實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法：第一，通過(guò)折疊，將三角形的三個(gè)內(nèi)角頂點(diǎn)折疊到同一點(diǎn)上，從而使學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)內(nèi)角構(gòu)成了一個(gè)平角.第二，通過(guò)裁、剪、拼，將三角形的三角全部剪下，再次拼接，也會(huì)發(fā)現(xiàn)這三個(gè)內(nèi)角構(gòu)成了一個(gè)平角.在學(xué)生動(dòng)手操作的過(guò)程中加深學(xué)生對(duì)于三角形內(nèi)角和為180度的理解，然后讓學(xué)生們從這張三角形紙片上能否得出相關(guān)的啟示，結(jié)合之前所學(xué)內(nèi)容，自己嘗試著能否想到三角形內(nèi)角和為180度的證明思路.

在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，老師進(jìn)行引導(dǎo)，如將三角形與平行線進(jìn)行結(jié)合等，從而解決今天教學(xué)重難點(diǎn)——三角形內(nèi)角和定理的證明.（教師帶領(lǐng)學(xué)生完整給出了兩種證明方法，這里略去）

教學(xué)環(huán)節(jié)3 例題講評(píng)，變式教學(xué)

結(jié)合例題1，例2講解（例題同上一節(jié)課例1、2），以一題為引入作示范，另外幾題采取讓學(xué)生給學(xué)生講的方式，并由學(xué)生來(lái)進(jìn)行糾錯(cuò)或添加其他解法，充分將課堂的主體性交給學(xué)生.

在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生在剛剛某個(gè)基礎(chǔ)圖形上進(jìn)行添加或改變一兩個(gè)條件，并讓其他學(xué)生來(lái)進(jìn)行證明，相當(dāng)于讓學(xué)生在三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上自己創(chuàng)造題目來(lái)進(jìn)行對(duì)三角形內(nèi)角和的運(yùn)用，在這一來(lái)一回的互動(dòng)過(guò)程中來(lái)加深學(xué)生們的理解，同時(shí)可使課堂增加趣味.最后老師增設(shè)了例3.

例3 如圖3，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？

圖3

教學(xué)組織：由該題教師總結(jié)出直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，補(bǔ)充在黑板上形成三角形內(nèi)角和定理的推論，另外還提煉了該圖形中的一個(gè)基本圖形（“8字形”）.

教學(xué)環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，作業(yè)布置（略）

二、課例評(píng)析

第一，基于“三個(gè)理解”，精確定位教學(xué)目標(biāo)

近年來(lái)，章建躍博士曾倡導(dǎo)的“三個(gè)理解”得到一線老師的廣泛響應(yīng)，而對(duì)于初任教師來(lái)說(shuō)，他們從師范學(xué)校中好像還沒(méi)有受到其太多影響.在本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了與三角形的邊有關(guān)的內(nèi)容，在學(xué)生對(duì)三角形的邊有一定了解的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角，加深了學(xué)生對(duì)三角形的全面認(rèn)識(shí)，學(xué)生能更加充分地了解三角形，同時(shí)也為后面學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和奠定了基礎(chǔ)，所以本節(jié)內(nèi)容起著承上啟下的作用.此外，在小學(xué)階段，學(xué)生就已經(jīng)初步接觸了三角形，并對(duì)三角形的內(nèi)角和等于180度已有認(rèn)識(shí)，而在初一階段，學(xué)生在實(shí)際解題（有些平行線性質(zhì)的習(xí)題）過(guò)程中，也遇到過(guò)不少需要運(yùn)用三角形內(nèi)角和是180度的結(jié)論的題目，所以學(xué)生對(duì)三角形的內(nèi)角和應(yīng)該比較熟悉.據(jù)此，執(zhí)教老師把本課的教學(xué)目標(biāo)定位為“掌握三角形的內(nèi)角和定理及證明方法，并能靈活運(yùn)用定理求三角形的相關(guān)角度問(wèn)題”是恰當(dāng)?shù)?

第二，明辨教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，適當(dāng)整合教材開(kāi)展“學(xué)材再建構(gòu)”

據(jù)以上分析，本課的教學(xué)重點(diǎn)不僅是三角形內(nèi)角和定理的證明，還包括三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，這種應(yīng)用主要是直接運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求相關(guān)角度，而不涉及繁雜圖形中的角度推導(dǎo)與求解，所以例題選擇上要注意控制難度，特別是不能出現(xiàn)一些繁雜線段背景下的求角度問(wèn)題.而可以像“課例2”那樣，在最后階段，適當(dāng)引入直角三角形的問(wèn)題背景，演算推理出直角三角形兩銳角互余的推論.這樣既是對(duì)三角形內(nèi)角和定理的習(xí)題運(yùn)用，又是定理推論的教學(xué)，讓學(xué)生看到與三角形有關(guān)的角的知識(shí)體系的完整呈現(xiàn).特別是，這個(gè)教學(xué)過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的一般與特殊之間的關(guān)系，也能向?qū)W生傳遞和滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)研究方法.

第三，初任教師對(duì)變式教學(xué)、開(kāi)放教學(xué)的專業(yè)功夫還有待修煉

由于本次參加賽課的教師都是剛剛參加工作3年以內(nèi)的初任教師，從他們的呈現(xiàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，對(duì)變式教學(xué)的理解還停留在較低層面上，比如只是對(duì)例題的個(gè)別條件進(jìn)行簡(jiǎn)單改編，還沒(méi)有能全面認(rèn)識(shí)定理教學(xué)中的變式策略，以及核心概念教學(xué)過(guò)程中的一些變式追求，包括一些訓(xùn)練題的深度變式改編（在不破壞問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)特點(diǎn)時(shí)的變式改編）.此外，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授倡導(dǎo)的開(kāi)放式教學(xué)，也是值得很多初任老師研習(xí)和精進(jìn)的一個(gè)方向，比如對(duì)于一些簡(jiǎn)單的三角形內(nèi)角和定理的習(xí)題教學(xué)，完全可以實(shí)施開(kāi)放式教學(xué)，讓學(xué)生分組命題，分組解答、交流展示，對(duì)一些基本圖形及其性質(zhì)，也可以讓學(xué)生總結(jié)提煉，以“數(shù)學(xué)寫作”（數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)反思文章、數(shù)學(xué)日記等）的形式進(jìn)行梳理呈現(xiàn).