王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

近年來，作者用射影幾何的方法給出了二次曲線的一些有趣的性質(zhì)，其中，部分內(nèi)容寫成本文及《拋物線的一些性質(zhì)》[1]。研究發(fā)現(xiàn)，有些平面幾何問題用射影幾何研究更自然、條理更清楚，而用平面幾何方法處理則有難度。本文繼續(xù)用射影幾何的方法討論拋物線的性質(zhì)，特別是由拋物線的兩條切線與焦點得到的相似三角形的性質(zhì)，用到的射影幾何知識可參看[2-4]或其它高等幾何書籍。本文討論的部分問題來源于文獻[4]。

1 主要結(jié)果與證明

先給出一個在討論二次曲線問題時常用的性質(zhì)。

性質(zhì)1 設(shè)拋物線的切線交兩定切線于X,X′，點F是焦點，則∠XFX′是定角。

圖1 拋物線的切線交兩定切線圖：(a)X;(b)X′

∠X′FC=∠X′FB-∠CFB=∠X′FP-∠CFA=∠X′FP-∠X′FC-∠X′FA=-∠X′FC+∠AFP，

性質(zhì) 2 設(shè)拋物線上點A,B處切線交于C，F(xiàn)是焦點，則ΔACF,ΔCBF相似。如果X,X′是拋物線上切線與CA,CB的交點，則ΔXX′F也與ΔACF,ΔCBF相似。

證 圖2畫出了A,B在拋物線上不同位置的圖形，分別對應(yīng)于A,B在拋物線對稱軸的同一側(cè)或兩側(cè)。設(shè)拋物線的頂點D處切線交CA,CB分別于E,G。由于C是A,B處切線的交點，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠CFA=∠CFB；類似有∠DFE=∠EFA, ∠DFG=∠GFB。E,G分別是拋物線頂點D處切線與A,B處切線的交點，由 [2] §4.4例5，F(xiàn)E⊥AE,FG⊥GB，四點C,E,F,G共圓，故有∠BCF=∠GEF[2]。而ΔAEF與ΔDEF相似，∠EAF=∠DEF=∠FCG，即∠CAF=∠FCB。這些證明了ΔACF與ΔCBF相似。

圖2 拋物線上的點A，B在拋物線上 不同位置的圖:(a)A;(b)B

ΔXX′F與ΔACF,ΔCBF的相似容易證明。

下面的性質(zhì)說明拋物線也可以由性質(zhì)2中相似三角形確定。

性質(zhì) 3 設(shè)平面上ΔBCF與ΔCAF相似，點B,A在線段CF的兩側(cè)。則有與直線CB,CA分別切于B,A, 以F為焦點的拋物線。

圖3 △BCF與△CAF相似

證 如圖3，ΔBCF與ΔCAF相似，設(shè)B′,A′分別是F關(guān)于CB,CA的對稱點。于是BB′=BF,AA′=AF, ∠CB′B=∠CA′A=∠CFB=∠CFA，而CB′=CF=CA。從這些關(guān)系可得：

由性質(zhì)2、性質(zhì)3可得已知拋物線的焦點F及它的一條切線及其上切點A作拋物線的其它切線與切點的方法。 也可以得到已知拋物線的兩條切線及其上切點作拋物線的焦點、準線的方法。

性質(zhì) 4 在拋物線上點A處切線上取兩點P,Q使PF=FQ，設(shè)R是過P,Q的切線的交點。則RF是拋物線的對稱軸。

圖4 拋物線上一點處切線上取兩點情形1 圖5 拋物線上一點處切線上取兩點情形2

證 如圖4或圖5，設(shè)過P,Q的切線上切點分別是C,D。由PF=FQ可得∠APF=∠AQF。由性質(zhì)2有許多相似三角形：

ΔCPY與ΔPAF；ΔAQF與ΔQDF；ΔCRF與ΔRDF。

因此，∠RCF=∠RDF, ∠CRF=∠FRD,ΔCRF與ΔDRF全等，C,D關(guān)于RF對稱。而R是拋物線上弦CD的極點，這證明拋物線平行于CD的弦的中點軌跡是RF，RF是拋物線的直徑。由CD⊥RF可知RF是拋物線的對稱軸。

另法：由ΔCPF與ΔPAF相似可得PF2=CF·AF；同理得：QF2=AF·DF。因此，CF=DF，再由∠RFC=∠RFD可知RF⊥CD，RF是對稱軸。

性質(zhì) 5 設(shè)拋物線上點A處切線與過拋物線的對稱軸上點R處兩切線分別交于P,Q，則FP=FQ,F是焦點。

性質(zhì) 6 設(shè)拋物線上弦AB垂直于A處切線，T是A,B處切線的交點，F(xiàn)是焦點，過A垂直于AF的直線交TF于C。則有TF=FC,CB⊥TC。

證 如圖6，由TA⊥AB,AF⊥AC可得∠TAF=∠BAC。由ΔATF,ΔTBF相似可得∠CTB=∠TAF=∠BAC，因此A,T,B,C共圓. 由TA⊥AB可得TC⊥CB.

性質(zhì) 7 設(shè)T是拋物線上點A,B處切線的交點，F(xiàn)是焦點，過T的直徑交AB于M交拋物線于S。則有：

(1)AM2=4FS·SM；

(2)如果焦點F在弦AB上， 則4SF=AB；

(3)設(shè)平行于TM的直線交拋物線于L交AB于N，則有AN·NB=4FS·LN。

圖7過拋物線上兩點切線交點的直徑 圖8焦點在弦上 圖9平行拋物線的直徑

證 (1)二次曲線的直徑是平行弦中點的軌跡，拋物線的直徑都平行。因此，TM平行于拋物線的對稱軸。如圖7，設(shè)S處切線交TA于E，有AM=MB，TS=SM，AM=2ES。由拋物線在點A處切線的光學(xué)性質(zhì)及ΔAEF,ΔESF相似可知：∠ETS=∠FAT=∠FES，由點S處切線的光學(xué)性質(zhì)可得∠EST=∠ESF。因此，ΔETS,ΔFES相似，ES2=TS·SF，即有AM2=4FS·SM。

(3)LN與直徑TM平行，LN也是拋物線的直徑。如圖9，設(shè)過L作AB的平行線交TM于R，LR的極點(即LR與拋物線交點處切線的交點)也在AM上，由 (1) 可得LR2=4FS·SR。因此

AN·NB=AM2-MN2=AM2-LR2=4FS·SM-4FS·SR=4FS·LN。

圖10 焦點弦端點處切線

性質(zhì) 8 設(shè)F,D分別是拋物線的焦點與頂點，T是焦點弦AB端點處切線的交點，則TF2=AF·FB=DF·AB。

證 如圖10，T是焦點弦AB端點處切線的交點，TA⊥TB，而TF是直角ΔFAB底邊上的垂線，TF2=AF·FB。設(shè)M是AB的中點，TM是共軛于弦AB的直徑與對稱軸DF平行。從拋物線切線的光學(xué)性質(zhì)可得TM=AM。設(shè)E是TM與拋物線的交點，TE=EM。由于T在準線上，TE=EF，于是TF是∠DFE的平分線，E,D處切線的交點G也在TF上。由ΔEGF,ΔGDF相似 (性質(zhì)2) 及EG,AB平行可得TG=GF，

TF2=4GF2=4EF·DF=AB·DF。

性質(zhì) 9

圖11 圓與拋物線交于四點

(1)設(shè)圓與拋物線交于A,B,C,D四點，則AB,CD與拋物線對稱軸的夾角相等；

(2)設(shè)圓與拋物線交于B,C，在A處相切，與拋物線的對稱軸交于G及焦點F，則AC=BG，AB=CG。

證

(1)如圖11，設(shè)AB,CD交于圓內(nèi)點E，而QN,PL分別是共軛于拋物線弦AB,CD的直徑 (分別是拋物線平行于AB,CD的弦的中點軌跡)，P,Q在拋物線上，N,L分別是AB,CD的中點，G是過E平行于拋物線對稱軸的直線與拋物線的交點。由上面性質(zhì)7有，AE·EB=4FQ·EG，CE·ED=4FP·EG。由A,B,C,D四點共圓，從AE·EB=CE·ED及前兩式可得FP=FQ，因此點P,Q關(guān)于拋物線的軸對稱，P,Q處的切線與軸的夾角相等。而拋物線在P,Q處的切線分別平行于CD,AB(見 [2] §4.2的討論)[2]，這證明AB,CD與拋物線軸的夾角相等。由此可知，AC,BD與拋物線軸的夾角也相等。

圖12 圓與拋物線交于兩點，切與一點

性質(zhì) 10 設(shè)過焦點F作外切于拋物線的ΔABC的邊BC的垂線，與ΔABC的外接圓交于另一點D。則有

(1)AD垂直于拋物線的對稱軸；

(2)ΔABC的外接圓在焦點處切線與對稱軸的夾角等于其三邊與對稱軸夾角的代數(shù)和。

圖13 過焦點作外切于拋物線的三角形

證 (1) 我們知道：拋物線的焦點F在ΔABC的外接圓上，DF⊥BC。如圖13，設(shè)切線AB,AC與拋物線對稱軸的夾角分別是α,β，假設(shè)αβ。由焦點的光學(xué)性質(zhì)及性質(zhì)2給出的許多相似三角形可得于是，

而直線AF與對稱軸方向的夾角是β-α，這證明AD與對稱軸垂直。因此過F垂直于AD的直線就是拋物線的對稱軸。

(2)如圖13，進一步設(shè)∠ABC=γ，∠ACB=τ，不難知道，α+β+γ+τ=π是ΔBCF的內(nèi)角和. 三邊AB,BC,CA與對稱軸的有向角分別是：α,α+γ, -β，它們的和是2α+γ-β。外接圓在焦點F處的切線與AF的夾角是β+τ。由 (1) 可知圓在F處的切線與對稱軸的夾角也是π-(β-α)-(β+τ)=2α+γ-β。

由 (1) 可以得到已知拋物線的一個外切三角形及對稱軸的方向求作拋物線焦點的方法。

性質(zhì) 11 設(shè)一族拋物線與兩定直線相切，與其中一條切于定點。則這些拋物線的焦點在一個圓上，準線過定點。

圖14 一族拋物線與兩定直線相切

證 如圖14，設(shè)ξ,η是交于A的兩直線，B是ξ上定點。設(shè)拋物線與直線ξ,η相切，切點分別是B,C，焦點F。這樣的拋物線分別在直線ξ的兩側(cè)。由性質(zhì)2, ∠AFB=π-∠BAF-∠ABF=π-∠BAC是定角。這證明與直線ξ,η相切，ξ上切點是B的拋物線的焦點在圓上，這個圓過點A,B與AC相切，它的弦AB上的圓周角等于直線ξ,η的兩個夾角之一。

如圖，再作一過A,B的圓使之與原來的圓關(guān)于ξ對稱。取后一圓上點E使EB=BF，作EB的垂線交后一圓于D，則BD是此圓的直徑，因此D是定點。EB,FB與ξ的夾角相等，由性質(zhì)2的證明，ED是拋物線的準線。這證明了滿足題中條件的拋物線的準線過定點D。

另一方面，任取前一圓上異于A,B的點F，有唯一的η上點C使∠AFC=∠AFB，這時ΔBAF,ΔACF相似。由性質(zhì)3，有以F為焦點，與ξ,η分別切于B,C的拋物線。這些證明了性質(zhì)。

2 應(yīng) 用

以下是一些拋物線的問題[3-4]，有興趣的讀者可以試試。

1.已知拋物線上兩點B,C處切線AB,AC。作此拋物線的焦點，準線，對稱軸。

2.設(shè)拋物線上點A,B的切線交于C，F(xiàn)是焦點，過A,B,C的圓與CF交于另一點D。則有CF=FD。

3.設(shè)A是拋物線上點P,Q處切線的交點，∠APQ是直角，PQ交準線于T，則AT垂直于AQ。

4.設(shè)一族拋物線過兩定點A,B，且都以A為頂點，則這些拋物線過B的切線與過A的切線與法線的交點分別在兩個圓上。

5.設(shè)Y,Y′是拋物線的頂點D處切線上點，使得FY·FY′是常數(shù)，F(xiàn)是焦點，則拋物線過Y,Y′的切線的交點在一個圓上。