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        ?

        一類系統(tǒng)譜的上界的不等式

        2018-07-24 11:55:32
        關(guān)鍵詞:積分法分部化簡(jiǎn)

        吳 平

        (蘇州職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部,江蘇 蘇州 215004)

        1 問(wèn)題提出

        設(shè)Ω?Rm是一個(gè)逐片光滑的區(qū)域,考慮的譜的估計(jì),其中n是邊界?Ω的單位法向量,

        (1)

        根據(jù)相關(guān)方程理論知道問(wèn)題(1)的譜都是正實(shí)數(shù)且是離散的,離散譜又稱特征值。

        問(wèn)題(1)可寫(xiě)成矩陣式,設(shè)

        問(wèn)題(1)可寫(xiě)成矩陣形式

        (2)

        設(shè)問(wèn)題(2)的譜為:

        0≤λ1≤λ2≤···≤λn≤···

        對(duì)應(yīng)的正交規(guī)范特征向量為u1,u2,···,un,···,即滿足:

        (3)

        利用分部積分,得:

        (4)

        設(shè):

        其中,

        顯然,φik與uj正交(i,j=1,2,···,n,k=1,2,···,m),且滿足:

        于是,根據(jù)Rayleigh定理,得到下列不等式:

        (5)

        計(jì)算得:

        (6)

        (7)

        由(7)式,有:

        (8)

        (9)

        用λn替代(6)式中的λi,則(λn+1-λn)U≤I。

        (10)

        2主要引理

        (11)

        (12)

        同理,

        化簡(jiǎn),由分部積分法,Schwartz不等式,有:

        (13)

        由式(11)和式(13),得:

        既得引理1。

        證明 由恒等式和分部積分法,得:

        (14)

        由(14)式,有:

        (15)

        由于:

        (16)

        (17)

        (18)

        由分部積分,得:

        (19)

        (20)

        由(18)式,(19)式,(20)式和分部積分,有:

        即得引理2。

        引理3 對(duì)于φik和λi(i=1,2,···,n,k=1,2,···,m),則:

        證明 由φik的定義,有:

        (21)

        顯然:

        (22)

        由Schwartz不等式和引理1,有:

        即得引理3

        3 主要結(jié)論

        定理1 如果λi(i=1,2,···,n+1)是問(wèn)題(3)的譜,則:

        23)

        (24)

        證明 利用引理3,再利用(10)式和引理2,我們可得定理1的(23)式,在(23)式右端用λn替代λi,可得(24)式。

        定理2 對(duì)于n≥1,則:

        證明 選擇參數(shù)σ>λn,由(9)式,得:

        (25)

        利用(22)式和Young不等式,得:

        (26)

        其中δ>0為待定常數(shù)。

        由(25)式,(26)式和引理1,化簡(jiǎn)得:

        (λn+1-σ)U+V≤I,

        (27)

        (28)

        為了使(28)式右端的值達(dá)到最小,取

        (29)

        將(29)式代入(28)式,得:

        (30)

        根據(jù)引理2,(27)式和(28)式,得:

        (31)

        其中σ>λn,選擇σ使(31)式右端等于零,即:

        (32)

        易知,f(σ)是在(λn,+)內(nèi)單調(diào)減少連續(xù)函數(shù),其值域?yàn)?0,+),因此,存在唯一的σ使等式(32)成立。從(31)式知σ≥λn+1,用λn+1來(lái)替代等式中σ,即得定理2。

        4 結(jié)語(yǔ)

        數(shù)學(xué)學(xué)科研究的一個(gè)重要領(lǐng)域就是方程的特征值問(wèn)題,偏微分方程及偏微分方程組特征值問(wèn)題的研究就是其中很重要的一個(gè)方面。本文所研究的問(wèn)題就屬于這一方面的內(nèi)容,文中采用了分部積分、Rayleigh定理以及不等式估計(jì)等數(shù)學(xué)方法,得到了問(wèn)題(1)的譜的上界的不等式。其結(jié)果應(yīng)用廣泛,特別在物理學(xué)和力學(xué)等領(lǐng)域。

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