☉江蘇省常熟市王淦昌中學(xué) 郭 貞

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要對不同類型的問題分類講解，總結(jié)題型與方法，強化學(xué)生的練習(xí).在實際的教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者發(fā)現(xiàn)真正困擾學(xué)生的并不是值域的求解，而是問題的“隱蔽性”，即很多問題看似與值域毫無關(guān)聯(lián)，但實際卻是隱藏著值域求解的過程，部分學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)這一隱藏的問題，因此毫無頭緒.筆者總結(jié)了幾種常見情況，通過轉(zhuǎn)化等手段，對這些潛在的函數(shù)值域問題進行分析與總結(jié)，以期起到較好的教學(xué)指導(dǎo)作用.

一、值域求解與定義域結(jié)合

例1函數(shù)y=f（5x-2）的定義域為（-2，3），試求函數(shù)y=f（x-4）的定義域.

【教師提問】分析題目已知條件，我們可以發(fā)現(xiàn)，y=f（5x-2）是一個復(fù)合函數(shù).同學(xué)們思考一下，復(fù)合函數(shù)具有什么特征？

【學(xué)生甲】在復(fù)合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域就是外層函數(shù)的定義域.

【教師提問】很好！這道題的題干信息沒有出現(xiàn)求解值域的信息，但結(jié)合復(fù)合函數(shù)的特征，我們就是要求解5x-2的值域.哪位同學(xué)來說一下具體的解答過程？

【學(xué)生乙】函數(shù)y=f（5x-2）的定義域為（-2，3），那么5x-2的取值范圍為（-12，13），即函數(shù)y=f（x-4）的值域為（-12，13），所以可以求解出該函數(shù)的定義域為（-8，17）.

【教學(xué)總結(jié)】這道題看上去是求函數(shù)的定義域——使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.結(jié)合復(fù)合函數(shù)內(nèi)外層函數(shù)的關(guān)系，這道題的重點就是兩者之間定義域與值域之間的相互轉(zhuǎn)化，看似與值域無關(guān)，但解題的突破口就是值域的求解.

二、值域求解隱藏于函數(shù)單調(diào)性中

【教師提問】這道題要求的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，甲同學(xué)，你說一下你的思路.

【教師提問】來，你在黑板上寫一下詳細的解題過程.

【教師提問】接下來怎么計算x的取值范圍？

【學(xué)生甲】算不出來.

【教師提問】好，同學(xué)們一起來看，既然沒法計算出結(jié)果，我們不妨換個思路，我們把函數(shù)t（x）的取值范圍求出來，即求解t（x）的值域.甲同學(xué)，你繼續(xù)解答.

【學(xué)生甲】t′（x）=-sinx·x，因為x∈（0，π），

所以t′（x）=-sinx·x恒小于0，

即t（x）在x∈（0，π）上單調(diào)遞減.

因為t（0）=0,所以t（x）在x∈（0，π）上恒小于0，

所以f（x）在x∈（0，π）上單調(diào)遞減.

【教學(xué)總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性問題可以結(jié)合函數(shù)值域的求解，詳細分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)增減情況.特別地，在處理恒增或者恒減問題時，這一解題思路應(yīng)該是考生的優(yōu)先選擇.

三、方程有解的問題中的函數(shù)值域

例3 關(guān)于x的方程9x-2·3x-m2+5m+1=0有解，試求解實數(shù)m的取值范圍.

【教師提問】同學(xué)們，這是一道方程有解問題，觀察一下題干信息，大家有什么想法？

【學(xué)生甲】題干信息中的表達式是二次函數(shù)的形式，可以令k=3x，k∈（0，+∞），原方程就變?yōu)閗2-2·k-m2+5m+1=0，則只要滿足Δ≥0就好.

【教師提問】有沒有不同意見？

【學(xué)生乙】單單滿足Δ≥0這一個條件，只能說明該方程在R上有解，但k∈（0，+∞），說明題目轉(zhuǎn)化成了k2-2·k-m2+5m+1=0有正解，需要分類討論所得的解是否為正解、有幾個正解.

【教師提問】這是一種解法，屬于常規(guī)思路，運用二次方程根的判別式進行求解.下面我提供另外一種思路，比如，這樣的方程形式：f（m）-g（n）=0有解，我們可以從函數(shù)的角度來考慮，把不同未知數(shù)的兩個方程看成兩個函數(shù)，當(dāng)然，一定要是不同變量，如果是同一變量的方程問題，大家不能簡單拆分，因為相同變量取值條件滿足同一性，不能分開討論.回到這道題，我們可以令f（k）=k2-2·k+1（k＞0），g（m）=m2-5m，結(jié)合二次函數(shù)的值域求解，可知f（k）的值域為［0，+∞），所以m2-5m≥0，解得m≥5或m≤0.

【教學(xué)總結(jié)】方程與函數(shù)是聯(lián)系比較緊密的，在處理方程有解問題時，可以嘗試分離出函數(shù)，求解出函數(shù)的值域，再通過變量與值域之間的相互關(guān)系來求解.

四、不等式中的函數(shù)值域問題

例4設(shè)有函數(shù)f（x）=x2-2ax+a2-1，若關(guān)于x的不等式f（f（x））＜0的解集為空集，試求實數(shù)a的取值范圍.

【教師提問】從已知條件我們可以知道f（x）為關(guān)于x的二次函數(shù)，f（f（x））這一表達式是什么形式？

【學(xué)生甲】是復(fù)合函數(shù).

【教師提問】根據(jù)上面的案例我們知道，復(fù)合函數(shù)一個重要的考點就是內(nèi)外層函數(shù)值域與定義域之間的關(guān)系.那么這道題能否轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題呢？

【學(xué)生乙】可以令m=f（x），則原題轉(zhuǎn)化成f（m）＜0，題目就轉(zhuǎn)化成了一元二次不等式問題.

【教師提問】然后呢？

【學(xué)生乙】原函數(shù)f（x）=x2-2ax+a2-1，可以進一步轉(zhuǎn)化成f（x）=［x-（a-1）］［x-（a+1）］，令f（x）＜0，解得x的取值范圍為（a-1，a+1）.復(fù)合函數(shù)具有這樣的性質(zhì)：內(nèi)層函數(shù)的值域就是外層函數(shù)的定義域，而f（f（x））＜0的解集為空集，實際上就是函數(shù)f（x）的值域與（a-1，a+1）的交集為空集，而f（x）的值域為［-1，＋∞），所以可知-1≥a+1，解得a≤-2.

【教學(xué)總結(jié)】在解決不等式問題時，尤其是存在、恒成立、空集等問題，可以嘗試構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域的求解問題，最后再通過集合之間的相互關(guān)系來解出答案.

五、幾何求解中的函數(shù)值域問題

【教師提問】A、B為動點，這道題要求解的是取值范圍，同學(xué)們有什么解題思路？

【學(xué)生甲】可以嘗試構(gòu)造函數(shù).

圖1

【教師提問】好，那我們假設(shè)點A的坐標為（a，b）.

【學(xué)生甲】由題目已知條件可以知道，E—→A與E—→B垂直，（a-1）2+b2.又因為A點在橢圓上，滿足1，a的取值范圍為［-2，2］，所以2a+2.問題就轉(zhuǎn)化成了求解關(guān)于a的二次函數(shù)在區(qū)間［-2，2］的值域，不難求解

【教學(xué)總結(jié)】在高考中，幾何的范圍問題是常見考點，運用到的思想方法比較多，將需要求解的范圍轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題是重要的方法.

通過以上題型的分析與解答，我們可以知道函數(shù)的值域問題會和諸多考點結(jié)合.解決這些問題的關(guān)鍵就是要熟練掌握函數(shù)值域的常見求解方法，同時要能夠把題目中隱含的值域求解條件找出來.總的來說，這類問題考核的是學(xué)生的函數(shù)值域求解能力以及轉(zhuǎn)化思維能力.J