王東生　石煥南

(1.北京電子科技職業(yè)學院基礎部 100026;2.北京聯(lián)合大學師范學院基礎部 100011)

1998年9月法國路易·巴斯德大學的Mohammed Aassila教授，在Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem雜志上提出了一個代數(shù)不等式：

設a,b,c>0，則有

(1)

該不等式曾經(jīng)作為2006年巴爾干數(shù)學奧林匹克競賽試題.

2003年羅欲曉將式(1)加強為[1]：

設a,b,c>0，則有

(2)

2011年陳建英將式(1)推廣為[2]：

設a,b,c>0，λ>0，則有

(3)

爾后，安振平發(fā)現(xiàn)了式(3)的錯誤并將其更正為[3]：

設a,b,c>0，λ≥1，則有

(4)

上述討論都只局限于三元變量形式，而對于n(n≥2)元變量有沒有類似的不等式成立，文[1]～[3]中都沒有涉及，本文通過研究發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，可將式(1)推廣到n元變量.

定理1當n≥3時，對于xi≥1(i=1,2,…,n) 有

(5)

成立.

而

定理1證畢.

定理2當n≥2時，對于xi>1 (i=1,2,…,n)，有

(6)

成立.

而

定理2證畢.

引理1[4]設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，k1,k2,…,kn是{1,2,…,n}的任意排列，則

(7)

僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立.

引理2[5](Jensen不等式)設f(x)是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，那么，對于(a,b)內(nèi)的任意n個實數(shù)x1,x2,…,xn，有

(8)

定理3當n≥2時，對于0

(9)

證明先證

設y1,y2,…,yn是x1,x2,…,xn的一個遞增排列，則

由引理1有

即

其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意排列.

這樣取yji：當yi=xk(k

于是有

(10)

f″(x)=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-x(1-x)+x2]

=2x-3(1-x)-3[(1-x)2-2x(1-x)+x2+x(1-x)]

=2x-3(1-x)-3{[(1-x)-x]2+x(1-x)}≥0.

由引理2有

再結合式(10)有

定理3證畢.

注(1)定理1對于n=2是不成立的.實際上， 取x1=1，x2=2，則有

(2)當n>3時，式(5)對于0