李尚志

(北京航空航天大學　100083)

大家都承認郎平是優(yōu)秀的女排教練.憑什么理由承認? 看郎平寫的關(guān)于怎樣當教練的論文嗎? 即使看了也看不懂.也不用看.只憑一條就夠了: 郎平帶領(lǐng)中國女排力克群雄,勇奪冠軍.排球教練在制定計劃的時候也許應(yīng)該提出很多的理論,做出很多的論證和分析,來說服別人支持她的訓練方案.但最終的說服和檢驗只有一條: 帶領(lǐng)隊員打贏比賽，奪得冠軍.

數(shù)學也是這樣.要論證某種教學方式的正確性和有效性,也許應(yīng)該根據(jù)核心素養(yǎng)的要求進行論證.但最終檢驗學生核心素養(yǎng)的高低，不是讓學生寫核心素養(yǎng)的論文,而是讓學生做數(shù)學題.會做數(shù)學題不一定說明核心素養(yǎng)高,但核心素養(yǎng)必須通過解決數(shù)學問題來體現(xiàn).那就要看做什么樣的數(shù)學題, 是怎樣做出來的.

要說明這個道理, 也不能空口說白話.以下是我在中國科學技術(shù)大學和北京航空航天大學的自主招生和選拔優(yōu)秀學生的考試中實際出過的一些真題(見文后附：測試題1).下面我就具體解釋, 為什么要出這些題? 考察學生什么樣的核心素養(yǎng).有人對此不屑一顧, 心想: 何必要什么核心素養(yǎng).我只要訓練學生一套題型就能對付任何考試.那就歡迎把你的題型拿出來對付我的考試.

比如說, 以下第1題你訓練什么題型?

一、填空題

1.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3) 是平面曲線x2+y2=2x-4y上任意三點.則A=x1y2-x2y1+x2y3-x3y2的最大值為.

題型是有的.但中學老師一般都不訓練, 因此我才要考.我希望所有的考生都沒有被訓練過, 大家都在同一條起跑線上起跑, 一律平等.假如大家都沒有訓練過, 都不會做.怎么起跑?

放棄與選擇: 這道題考的第一條素養(yǎng)是: 遇到不會做的題怎么辦?

遇到不會做的題, 最簡單易行的辦法是: 跳過去先做會做的題, 會做的題目做完了,該拿到的分數(shù)拿到了, 再來想不會做的題, 多想出一道就多一份意外收獲.

但是, 有很多自以為聰明的考生不這么辦.他們認為天下沒有自己不會做的題, 遇到不會做的題也不肯放棄.還有的老師認為: “ 要想讓未成年人在短時間內(nèi)判斷自己不會, 并且大膽放棄, 這本身就是一件很困難的事情.” 我無法理解這種邏輯.如果一個未成年人不會做某個題,強迫他一定要做出來, 這才是很困難的事情.反過來, 暫時放棄不會做的題, 先做會做的題, 不應(yīng)該有任何困難.只要在做題, 把題做出來了,就不是放棄而是得到.在難題面前耗費過多的時間, 沒有時間做會做的題目, 該得的分丟掉了, 這才是更大的放棄.

我把難題放在前面, 就是要考查哪些學生頭腦更清醒, 更懂放棄,更會選擇.這樣的素養(yǎng)不僅對考試有用, 對一輩子的生活和工作都有用.如果通過考試能讓一部分糊涂人吃了虧有所醒悟, 也是一樁功德.

不過, 我把難題放在前面的主要目的還不是逼大家都放棄, 而是要給敢于繞過障礙勝利前進的考生額外的獎勵, 讓他們有機會乘勝返回，掃除障礙.雖然第1 道題就不會做, 第2道題也不會做.哪怕前10道題都不會做.但只要堅持下去不氣餒, 總會遇到會做的.比如, 第11題解答題應(yīng)該有辦法做.

二、解答題

11.已知: 平面直角坐標系中兩點A,B的坐標分別為(a1，a2),(b1，b2).O是原點.將OB沿順時針方向旋轉(zhuǎn)直角得到OB′.

(1) 求△OAB的面積.

解法1求△OAB的面積S△OAB并不難.用的知識最少的方法是: 從A,B分別向x軸作垂線交x軸于C,D, 將△OAB面積寫成

S△OAB=S△OBD+SDBAC-S△OAC

這個方法對圖上畫的A，B的位置是正確的.但缺點是：假如A，B的相對位置有變化,a1，a2，b1，b2相互之間的大小、正負關(guān)系有變化, 還應(yīng)根據(jù)不同情況討論其中各個數(shù)的正負.

解法2題目只要求△OAB的面積.已知條件卻敘述了一句:“將OB沿順時針方向旋轉(zhuǎn)直角得到OB′.” 看起來與△OAB面積無關(guān).如果你覺得它真的與△OAB面積無關(guān), 可以置之不理.但如果你把它考慮在內(nèi), 卻能夠給你一點啟發(fā).

正弦變余弦,面積變點乘

公式就是套路.不過, 訓練專家很可能沒訓練過這個公式, 對這個公式推理過程中有一個環(huán)節(jié)也很可能不熟悉: 怎樣由B(b1，b2) 的坐標算出順時針旋轉(zhuǎn)直角之后到達的點B′的坐標(b2,-b1).本文建議兩個方法.一個用現(xiàn)成套路，另一個不用套路, 自己湊答案.

有人認為解方程求出x，y才是“通法”.湊出來的都是左道旁門.由

0=b1b2-b2b1=(b1，b2) · (b2,-b1)

解法3解法1太原始, 解法2太巧妙, 都不容易想到.有一種方法容易想到: 直接求△OAB的底和高來算面積.

底邊OA上的高|BH| 就是B(b1，b2) 到直線OA的距離, 直線OA的方程為a2x-a1y=0.利用點到直線的距離公式算出

三角形面積

不管用哪一種方法, 或者你還有別的方法, 得出的答案

x2-2x+1+y2+4y+4=5

?(x-1)2+(y+2)2=5,

要把第1題說清楚, 還需要搞清楚第11題面積公式中a1b2-a2b1正負號的意義.解法2把這個問題講清楚了:

D=a1b2-a2b1的絕對值等于△AOB面積的2倍, 也就是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積.而D的正負號就是sin ∠AOB=cos ∠AOB′的正負號: 當∠AOB∈ (0，π) 為正, ∠AOB∈ (-π，0) 為負.假如將角AOB的大小限定在[0，π] 的范圍內(nèi), 由OA到OB是逆時針方向旋轉(zhuǎn)則為正, 順時針方向為負.第1題要使A取最大值, 當然就需要x1y2-x2y1與x2y3-x3y2都為正.這很容易做到, 只要圓內(nèi)接正方形四個頂點O(0，0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y3)，P3(x3，y3) 的旋轉(zhuǎn)方向都是逆時針方向90° 就行了.

借題發(fā)揮:二階行列式

第11題推出的公式

是不是現(xiàn)成套路? 教科書有嗎? 當然有.所有的線性代數(shù)教科書都有

叫做二階行列式.卻很少有教科書講它的幾何意義是平行四邊形面積,三角形面積的2 倍.為什么不講? 很難講懂嗎? 參加我的考試的中學生可以在考場上臨時把這個面積公式推出來, 而且馬上用來解題得分,這能算難嗎?

如果要說難, 三階行列式肯定比二階行列式更難.可是所有上過大學的人(包括大學生和中學教師)都知道三階行列式代表平行六面體體積, 卻有很多人不知道二階行列式是平行四邊形面積, 原因何在? 三階行列式的幾何意義是空間解析幾何課程講的, 按道理應(yīng)該在平面解析幾何課程講二階行列式是平行四邊形面積, 可是卻不講.線性代數(shù)講n階行列式更不講幾何意義, 就都沒有地方講了.當然高考也不考.高考不考不要緊, 自主招生可以考.比如我就考了, 把能夠自己推公式并用來解另外一道題的學生錄取進來, 做不到這點的淘汰掉.

有些人老是把應(yīng)試教育和核心素養(yǎng)對立起來, 把死記硬背和靈活應(yīng)用對立起來.其實,應(yīng)試與死記硬背也都是素養(yǎng).能夠死記硬背現(xiàn)成公式用來解決現(xiàn)成模式的問題, 就是數(shù)學核心素養(yǎng)中的“數(shù)學運算”.而能夠用現(xiàn)成公式加以變通解決不現(xiàn)成的問題, 就是數(shù)學核心素養(yǎng)中的“數(shù)學建模”.高考以死記硬背為主, 稍微來幾道靈活應(yīng)用的, 讓死記硬背的考生能夠考上一般大學, 讓靈活應(yīng)用的考生考上名牌大學.所以你不能逼著所有考生都靈活應(yīng)用, 他們反正也不想考名牌大學,你逼也逼不出來, 何必拔苗助長呢? 只要出點高考難題或者再由名牌大學出點自主招生難題把他們淘汰掉就行了.大家各得其所, 各上各的學校,培養(yǎng)不同檔次的人才.適應(yīng)不同社會崗位的需要.

附：測試題1

一、填空題: (10個小題共90分, 每小題9分)

1.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3) 是平面曲線x2+y2=2x-4y上任意三點.則A=x1y2-x2y1+x2y3-x3y2的最大值為____________.

4.多項式(xsin 75°+sin15°)2012被x2+1除, 余式為__________.

5.平面上建立了直角坐標系,A,B是平面上兩點.將OB繞原點O旋轉(zhuǎn)直角到OB′.已知A,B′的坐標分別是(3,1) 與(-2，2).則點B到直線OA的距離為________.

6.將空間直角坐標系的坐標軸繞某條直線旋轉(zhuǎn), 使Ox軸旋轉(zhuǎn)到Oy軸,Oy軸旋轉(zhuǎn)到Oz軸.則旋轉(zhuǎn)角度是________.(求最小正角)

7.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,P是側(cè)面BB′C′C內(nèi)一動點, 若P到直線BC與直線C′D′的距離相等, 則動點P的軌跡所在的曲線是________.

8.某商場抽獎, 中獎率為10%.以下第______件事情發(fā)生的概率更大.

(1) 只抽一張就中獎.

(2) 連續(xù)抽20張, 全部都不中.

10.方程x3=-i的全部解為______

(提示: 利用棣美弗公式(cosα+isinα)n=cosnα+isinnα.)

二、解答題(3個小題共60 分, 每題20 分)

11.已知: 平面直角坐標系中兩點A,B的坐標分別為(a1，a2), (b1，b2).O是原點.將OB沿順時針方向旋轉(zhuǎn)直角得到OB′.

(1) 求△OAB的面積.(2) 求∠AOB的角平分線上全部點的坐標.

12.在一次智力測驗中, 老師給出了某個數(shù)列的前兩項1,2, 讓學生填寫第3項a3.有的學生填寫a3=3, 有的學生填寫a3=4, 老師均判為正確.另有一個學生填寫a3=0, 你認為正確嗎? 如果你認為正確, 試給出數(shù)列的通項公式an=f(n) 使它的前3項f(1),f(2),f(3) 分別等于1,2,0.

如果數(shù)列的前99項依次為1,2,…,99, 能否給出通項公式使第100項等于2013?

13.英文加密: 將26個英文字母a,b,c,…,y,z依次用整數(shù)0,1,2,…,24,25 代表.設(shè)某個字母用整數(shù)X代表, 則3X+7 被26 除得到的余數(shù)代表的字母就是被加密后的字母.將英文原文的每個字母用這個方式加密, 就得到密文.

(1) 將原文day加密成密文.

(2) 根據(jù)密文zaj求原文.