“仿真物理實驗”在物理問題研究中的應(yīng)用
——以“尋找?guī)щ娦∏蛟趶?fù)合場中的運動軌跡”為例
2018-07-13 08:51:26陳璽君
物理通報 2018年7期
陳璽君
(丹陽市呂叔湘中學(xué) 江蘇 丹陽 212300；廣西師范大學(xué)教師教育學(xué)院 廣西 桂林 541004)
1 問題場景
【問題】如圖1所示，范圍足夠大的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面平面向里，同時在紙面平面內(nèi)有一勻強電場，大小為E，方向水平向右.質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電小球從圖中某一位置P出發(fā)，與水平方向成45°斜向右上方射入場區(qū)，小球所受電場力與其重力大小相等，試分析小球所有可能的運動軌跡.
圖1 題圖
2 初步理論研究分析
首先從理論上簡單分析：為了便于研究該問題，可以以帶電小球出發(fā)點P為坐標(biāo)原點，v0方向為x軸，建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.
圖2 建立有角坐標(biāo)系
鑒于v0與v的大小關(guān)系不明確，這時顯然有必要分兩種情況討論.
2.1 當(dāng)0≤v0如圖3所示，帶電小球的受力分析圖.
圖3 受力分析
如圖4所示，易知，小球一邊從初始位置開始以速度大小為v-v0逆時針方向做勻速圓周運動，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運動，勻速圓周運動軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的下方
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
圖4 運動分解
經(jīng)過時間t,小球位置在沿x軸正方向做勻速直線運動的新坐標(biāo)系x′O′y′中的坐標(biāo)為
x′=-Rsinωt
(6)
y′=Rcosωt
(7)
因此換算到xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(8)
y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R
(9)
整理可得
(10)
(11)
2.2 當(dāng)v0>v時
如圖5所示，帶電小球的受力分析圖.
圖5 受力分析
如圖6所示，此時可認(rèn)為小球一邊從初始位置開始以速度大小為v0-v逆時針方向做勻速圓周運動，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運動，勻速圓周運動軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的上方，半徑
(12)
在坐標(biāo)系x′O′y′中小球的坐標(biāo)為
x′=Rsinωt
(13)
y′=-Rcosωt
(14)
圖6 運動分解
因此小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(15)
y=y′+R=-Rcosωt+R
(16)
整理可得
(17)
(18)
由以上分析可知，兩種情況下小球的軌跡的參數(shù)方程的形式完全相同．
從上面的軌跡參數(shù)方程可以看出，軌跡形狀顯然與v0的取值是有關(guān)聯(lián)的．如圖7所示，在“仿真物理實驗室”軟件中設(shè)置好如下參數(shù)： 小球質(zhì)量m=0.5 kg,小球電荷量Q=1 C，勻強電場電場強度E=5 N/C，勻強磁場磁感應(yīng)強度B=1 T，重力場：g=10 m/s2，小球初始坐標(biāo)(10 m,10 m)．
圖7 設(shè)置參數(shù)
3 “仿真物理實驗”嘗試
在0≤v03.1 嘗試1
取特殊值v0=0，運行實驗，結(jié)果軌跡如圖8所示.
圖8 取v0=0時運行結(jié)果
這顯然是圓滾線(又稱旋輪線、擺線)．
理論研究釋疑：
如圖9所示，小球在軌跡的最低點具有沿x軸正方向最大速度2v，最低點軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點速度為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點為極大值點，最高點不光滑應(yīng)為尖點．
圖9 v0=0運動分析
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
由軌跡方程的二階導(dǎo)數(shù)知
(25)
當(dāng)v0=0時代入
(26)
因此除軌跡的最高點vx=0外， 其余點由于vx>0，則在該運動區(qū)間
(27)
由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無拐點，且曲線軌跡向上凹，與仿真物理實驗結(jié)果很吻合．
3.2 嘗試2
圖10 取v0=3 m/s時運行結(jié)果
這種軌跡顯然與嘗試1不同．
理論研究釋疑：
如圖11所示，小球在軌跡的最低點速度為2v-v0，方向沿x軸正方向，最低點軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點速度為v0，方向也沿x軸正方向，最高點軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡可能存在拐點．
圖11 0
(28)
(29)
因為vx>0
(30)
(31)
可得
(32)
(33)
(34)
(35)
容易得到，在拐點的左側(cè)
(36)
曲線軌跡向下凹；
在拐點的右側(cè)
(37)
曲線軌跡向上凹；與仿真物理實驗得到的軌跡吻合．
接下來在v>v0范圍內(nèi)，分多種情況嘗試.
3.3 嘗試3
圖12 取v0=11 m/s時運行結(jié)果
明顯該曲線軌跡與上面嘗試1、嘗試2情況均不相同，是一種新的運動軌跡．
理論研究釋疑：
如圖13所示，小球在軌跡的最低點速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點速度為2v-v0，方向也沿x軸正方向，最高點軌跡切線自然也水平．故這種情況軌跡仍然可能存在拐點．
圖13 v
(38)
(39)
因為vx>0
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
容易得到，在拐點的左側(cè)
(46)
曲線軌跡向上凹；
在拐點的右側(cè)
(47)
曲線軌跡向下凹；與仿真物理實驗軌跡吻合．
3.4 嘗試4
圖14 取時運行結(jié)果
明顯這個曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3這3種情況中也未曾出現(xiàn)，也是一種新的運動軌跡．
理論研究釋疑：
如圖15所示，小球在軌跡的最低點具有沿x軸正方向最大速度v0=2v，最低點軌跡切線沿x軸正方向；小球在軌跡的最高點速度也出現(xiàn)為零，軌跡切線的斜率k不存在或不唯一，最高點為極大值點，最高點不光滑出現(xiàn)尖點．這時因為vx>0，當(dāng)
v0=2v
(48)
時，代入得
(49)
圖15 v0=2v運動分析
因此除軌跡的最高點vx=0外，其余點由于vx>0，則在該運動區(qū)間有
(50)
由高等數(shù)學(xué)可知，圖像無拐點，且曲線軌跡向上凹，與實驗結(jié)果吻合．
3.5 嘗試5
當(dāng)v0>2v時，取v0=20 m/s代入“仿真物理實驗室”運行，結(jié)果軌跡如圖16所示.
圖16 取v0=20 m/s時運行結(jié)果
明顯這個曲線在嘗試1，嘗試2，嘗試3，嘗試4種情況中均未出現(xiàn)，也是一種新的運動軌跡．
理論研究釋疑：
如圖17所示，可知，小球在軌跡的最低點速度為v0，方向沿x軸正方向，最低點軌跡切線水平；小球在軌跡的最高點速度為v0-2v，方向沿x軸負方向，最高點軌跡切線自然也水平．這種情況小球有段時間向x軸正方向運動，有段時間向x軸負方向運動，在軌跡的最高點下方存在x軸分速度為零而y軸分速度不為零的特殊點，在這些點軌跡的切線沿y軸正或者負方向．
圖17 v0>2v時運動分析
(51)
容易得到，若vx>0時
(52)
曲線軌跡向上凹；
在拐點的右側(cè)，
(53)
曲線軌跡向下凹,與仿真物理實驗軌跡吻合．
最后可以隨便賦予小球任意速度，理論和仿真實驗均表明無更多可能軌跡．下面將5種實驗嘗試情況下的5個相同小球賦值以上討論的5個不同速度，一起運行試驗得到所有可能的軌跡如圖18所示.
圖18 5種實驗嘗試情況下運行結(jié)果
4 結(jié)束語
在有些復(fù)雜的物理問題研究中，人腦的想象空間是非常有限的，借助“仿真物理實驗”，先對未知領(lǐng)域進行嘗試，獲得感性的認(rèn)知，然后借助理論研究尋找形成原因，這種方法可以幫助解決一些疑難問題，對于物理問題的研究未嘗不是一個行之有效的策略.
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如圖3所示，帶電小球的受力分析圖.
圖3 受力分析
如圖4所示，易知，小球一邊從初始位置開始以速度大小為v-v0逆時針方向做勻速圓周運動，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運動，勻速圓周運動軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的下方
(1)
(2)
(3)
(4)
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圖4 運動分解
經(jīng)過時間t,小球位置在沿x軸正方向做勻速直線運動的新坐標(biāo)系x′O′y′中的坐標(biāo)為
x′=-Rsinωt
(6)
y′=Rcosωt
(7)
因此換算到xOy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(8)
y=-(R-y′)=y′-R=Rcosωt-R
(9)
整理可得
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2.2 當(dāng)v0>v時
如圖5所示，帶電小球的受力分析圖.
圖5 受力分析
如圖6所示，此時可認(rèn)為小球一邊從初始位置開始以速度大小為v0-v逆時針方向做勻速圓周運動，一邊以速度v沿x軸正方向的勻速直線運動，勻速圓周運動軌跡在坐標(biāo)系xOy的x軸的上方，半徑
(12)
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x′=Rsinωt
(13)
y′=-Rcosωt
(14)
圖6 運動分解
因此小球在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為
x=vt+x′=vt-Rsinωt
(15)
y=y′+R=-Rcosωt+R
(16)
整理可得
(17)
(18)
由以上分析可知，兩種情況下小球的軌跡的參數(shù)方程的形式完全相同．
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圖7 設(shè)置參數(shù)
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