黃 鵬

(重慶巴蜀常春藤學?！≈貞c　401127)

相關速度就是兩個通過某種方式聯(lián)系起來的速度，它們可以通過媒介(輕繩或輕桿等)、直接接觸或不變量相關聯(lián)，在題目中往往已知一個速度求另一個速度．在運動學中我們把位移對時間的變化率定義為速度，那么求相關速度也可以理解為已知一個變化率求另一個變化率，這正是數(shù)學中的相關變化率問題．

下面分別通過3類不同相關速度的幾個經(jīng)典例子探討由相關變化率求相關速度的方法，試圖以對比求解的方式加深大家對相關速度的理解．

1　媒介關聯(lián)

【例1】如圖1所示，某人在岸邊用輕繩以速度v0勻速拉動小船使之靠岸，當繩與河夾角為θ時，船的速度為多大？

圖1　例1題圖

運動分解法：因輕繩不可拉伸，故人與小船沿繩方向速度相等．如圖2所示，分解船速

v1=v0=vcosθ

則

圖2　船速度分析

由勾股定理，得

x2+h2=L2

兩邊對t求導，有

解得

負號表示x減小速度向左．

小結：對輕繩模型求相關速度運動分解法較為簡潔，但是在實際學習中，學生很難分辨應該分解繩速還是船速，復習時不妨引入相關變化率法進行一題多解，以幫助學生突破該難點，同時發(fā)散學生的思維．

【例2】如圖3所示，長20 m的輕桿AB靠在高12 m的墻MN上，接觸點M距B端5 m，沿水平方向以5 m/s速度向右拉A端時，B端向下的速度為多大？

圖3　例2題圖

運動分解法：因輕桿不可拉伸，故A端與B端沿桿方向速度相等．如圖4所示.

圖4　A端速度分解

分解A端的速度

vA1=vB1=vAcosθ

又

則B端沿桿速度vB1=3 m/s．由A端與B端繞M點轉(zhuǎn)動的角速度相等，又

vB2=ωrBM

且

vA2=ωrAM=vAsinθ=4 m/s

則

將vB1和vB2的豎直分量求和得

vBy=vB1sinθ+vB2cosθ=3.2 m/s

相關變化率法：如圖3所示，MN=h，AB=L，h和L不變；A端到墻角N的距離為x，其變化率為

AM=l

解得

vBy=-3.2 m/s

負號表示高度減小速度向下．

小結：用運動分解法解此例時，易錯判B端速度豎直向下，在求出vB1=3 m/s后，分解B端速度即求出vB=3.75 m/s．其實B端并未受約束，速度并非向下．我們要注意輕桿模型比輕繩模型增加了轉(zhuǎn)動關聯(lián)的可能性，此時利用兩端角速度相等便能得解．而采用相關變化率法不僅可以避開上述陷阱，計算也相對簡便．此類模型在2015年高考全國Ⅱ卷第21題中也出現(xiàn)過．

2　接觸關聯(lián)

【例3】如圖5所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點．求：當∠AOP=θ時，AB桿的速度大小．

圖5　例3題圖

運動分解法：因凸輪和桿不分離，故它們沿接觸面法向分速度相等．如圖6所示，沿接觸面法向和切向分解凸輪和桿的速度得vA1=v1，即vAcosθ=v0sinθ，則vA=v0tanθ．

圖6　運動速度分解

小結：采用相關變化率法可以避免繁瑣的速度分解，只要明確已知速度和所求速度分別對應的變化率，列出兩變量的關系式求導即可得解．

【例4】距河岸(看成直線)500 m處有一艘靜止的船，船上的探照燈以轉(zhuǎn)速n=1 r/min轉(zhuǎn)動．當光束與岸邊成60°時，光束沿岸邊移動的速率為()

A.52.3 m/sB.69.8 m/s

C.3.14×103m/sD.4.18×103m/s

運動分解法：如圖7所示，∠OAB=60°，燈到岸的距離為OB=L，因光束沿岸運動受轉(zhuǎn)動約束，故將沿岸速度分解到切向和法向，則切向分速度為vA1=vAsin60°=ωrOA，又rOAsin60°=L且ω=2πn，解得vA=69.8 m/s．

圖7　運動速度分解

小結：本例為簡單的交叉點速度模型，如果能厘清合速度與分速度采用運動分解法將較為快捷；若對求導熟悉采用相關變化率法也很方便．類似模型在2009年清華自招試題中也出現(xiàn)過．

3　流體關聯(lián)

【例5】一個底面半徑為0.1 m的直立圓柱形桶以30 L/min的速率排出液體，桶內(nèi)液面下降的速率是多少?

解析：排出液體處和桶內(nèi)液面處液體流量相等，則Q=vπr2=30 L/min，得v=0.96 m/min．

【例6】以1 000 cm3/s的速率把空氣沖入氣球，當氣球半徑為8 cm時，半徑增大的速率是多少？

解析：沖氣處和氣體接觸球皮處氣體流量相等，則Q=v·4πr2=1 000cm3/s，解得v=1.24 cm/s．

則

小結：對于流體關聯(lián)模型，若能準確把握流量不變，則可選擇直接求解；如果對流量概念理解困難，那么由體積公式求導也不失為一種好的選擇．

綜上，3類相關速度既有共同遵守的一般規(guī)律，又有各自的相關特點所決定的特殊規(guī)律．相關變化率法就是一種抓住它們共性的方法，它將復雜問題求解簡化為兩個步驟：先借助不變量建立起變量與變量之間的關系方程，再在方程兩邊對t求導數(shù)即得相關速度之間的關系，這樣讓學生對相關速度問題求解有章可循．作為數(shù)學知識在物理中的應用，相關變化率法不僅可以開闊學生視野、激發(fā)學生興趣，還能引導學生從數(shù)學本質(zhì)思考相關速度的普遍規(guī)律．現(xiàn)在導數(shù)屬于高考數(shù)學二級要求的必考內(nèi)容，而且近幾年已以壓軸題的形式出現(xiàn)，所以在中學物理教學中開展相關變化率法教學是可行而必要的．