耿玉盛

(揚(yáng)州市邗江區(qū)教研室　江蘇 楊州　225009)

以輕質(zhì)彈簧為載體，設(shè)置復(fù)雜的物理情境，力的概念、物體的平衡、牛頓定律的應(yīng)用及能的轉(zhuǎn)化與守恒是高考命題的重點(diǎn)．試題突出了對(duì)運(yùn)動(dòng)和力以及功能關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的考查；突出了對(duì)學(xué)生分析、綜合能力等的考查．彈簧問題涉及的物理知識(shí)點(diǎn)較廣，有，平衡類問題、運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、功和能量、以及臨界和突變等問題．下面就高考試題中關(guān)于彈簧的問題做一些分析．

1　單個(gè)物體與彈簧相連在豎直桿上滑動(dòng)問題

A．彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功

B．有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度

C．彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零

D．小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M,N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差

圖1　例1題圖

考點(diǎn)分析：本題中考查受力分析、牛頓第二定律的應(yīng)用、瞬時(shí)功率的計(jì)算以及系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用．

解析：由題意可知在運(yùn)動(dòng)過程中受力如圖2所示.小球的位移為MN，則從M→A，彈簧處于壓縮態(tài)，則彈力做負(fù)功，從A→B彈簧從壓縮變?yōu)樵L(zhǎng)，彈力做正功，從B→N彈簧從原長(zhǎng)到伸長(zhǎng)，彈力做負(fù)功，則選項(xiàng)A錯(cuò).

圖2　運(yùn)動(dòng)過程分析

在A點(diǎn)受力如圖3(a)所示，在B點(diǎn)彈簧處于原長(zhǎng)則受力如圖3(b)所示.F合=mg,則即a=g，選項(xiàng)B對(duì).

圖3

在A點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)彈垂直于桿，則P彈=F彈vcosα=0 ，選項(xiàng)C對(duì).

從M到N小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由于M，N兩點(diǎn)彈簧彈力相同，由胡克定律可知，彈簧形變量相同，彈性勢(shì)能相等，則選項(xiàng)D對(duì).

點(diǎn)評(píng)：本題的分析思路與問題1基本相同，關(guān)鍵兩個(gè)特殊位置，A處彈簧水平豎直方向只受重力，B處彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，物體只受重力．M，N兩處彈力大小相等彈簧形變量相等從而確定M處彈簧壓縮，N處彈簧伸長(zhǎng)；其次是分析出M到N彈簧處于壓縮狀態(tài)且壓縮量增大，從A到B壓縮量減小，從B到N彈簧伸長(zhǎng)．

【例2】(2015年高考江蘇卷第9題)如圖4所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與一質(zhì)量為m，套在粗糙豎直固定桿A處的圓環(huán)相連，彈簧水平且處于原長(zhǎng)．圓環(huán)從A處由靜止開始下滑．經(jīng)過B處的速度最大．到達(dá)C處的速度為零．AC=h. 圓環(huán)在C處獲得一豎直向上的速度v，恰好能回到A． 彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g． 則圓環(huán)()

A．下滑過程中，加速度一直減小

D．上滑經(jīng)過B的速度大于下滑經(jīng)過B的速度

圖4　例2題圖

解析：本題中考查受力分析、牛頓第二定律的應(yīng)用、動(dòng)能定理的應(yīng)用以及功能關(guān)系．解答此題的關(guān)鍵：第一是特殊位置B處速度最大，學(xué)生要能理解從A到C過程中速度最大時(shí)，加速度為零，從而確定從A到B先加速，從B到C再減速；第二是向下和向上滑行時(shí)物體的受力情況分析，整個(gè)過程摩擦力都做負(fù)功；第三是從A到C和從C到A彈性勢(shì)能的變化量相等．

彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng).在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長(zhǎng)位置，現(xiàn)長(zhǎng)位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，以此來分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化.

2　彈性勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化的問題

【例3】(2016年高考全國(guó)課標(biāo)Ⅱ卷第25題)輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l.現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖5所示，物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g．

(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍．

圖5　例3題圖

考點(diǎn)分析：本題考查了牛頓第二定律、功和功率計(jì)算、機(jī)械能守恒定律

解析：(1)地面上，Ep重轉(zhuǎn)化為Ep彈，E機(jī)守恒

所以

|ΔEp重|=|ΔEp彈|

5mgl=Ep

此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l

A→B過程能量守恒，有

Ep=EkB+Q

即

B→D過程動(dòng)能定理，有

此后，物體做平拋運(yùn)動(dòng)

(2)假設(shè)物塊質(zhì)量為m′

則A→B過程能量守恒，有

解得

若要滑上圓弧，則

即

解得

若要滑上圓弧還能沿圓弧滑下，則最高不能超過C點(diǎn).此時(shí)假設(shè)恰好到達(dá)C點(diǎn)，則根據(jù)能量守恒

Ep=Q′+EpC

5mgl=μm′g·4l+m′gl

解得

故若使物塊不超過C點(diǎn)

綜上

點(diǎn)評(píng)：本題是弄清兩種情況下彈性勢(shì)能的求解，答題主要出現(xiàn)問題：不認(rèn)真審題，沒有從題干中得到求解出彈簧彈性勢(shì)能信息，導(dǎo)致從開始就落入在彈性勢(shì)能求解的怪圈中．

在求彈簧的彈力做功時(shí)，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進(jìn)行計(jì)算，也可據(jù)動(dòng)能定理和功能關(guān)系：能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解.同時(shí)要注意彈力做功的特點(diǎn)

彈力的功等于彈性勢(shì)能增量的負(fù)值.彈性勢(shì)能的公式

高考不作定量要求，可作定性討論.因此，在求彈力的功或彈性勢(shì)能的改變時(shí)，一般以能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來求解.

3　外力作用下物體與彈簧連接問題

(1)彈簧的勁度系數(shù)；

(2)物塊b的加速度；

(3)在物塊a,b分離前外力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

圖6　例4題圖

考點(diǎn)分析：本題考查了胡克定律、共點(diǎn)力作用下物體的平衡、牛頓第二定律的應(yīng)用、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用.

解析：(1)受力分析可得

由胡克定律F=κx的彈簧的勁度系數(shù)

(2)設(shè)從開始運(yùn)動(dòng)到ab分離，經(jīng)過時(shí)間t，位移x，有

對(duì)b,在2t時(shí)間內(nèi)有

解得

可知ab分離時(shí)彈簧壓縮量

對(duì)a，有

κΔx-mgsinθ=ma

解得

(3)對(duì)ab整體未分離前

其中

解得

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵：第一是要理解a，b分離時(shí)a和b之間無相互作用力，且a仍有加速度，這樣對(duì)a受力分析列出牛頓第二定律方程；第二是通過兩段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分析列出運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出a，b剛分離時(shí)a，b通過的位移，從而確定此時(shí)彈簧的壓縮量．

對(duì)于彈簧連接體的“動(dòng)、靜”結(jié)合問題的解答，關(guān)鍵是分析物體的受力特點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)形式．對(duì)于勻加速直線運(yùn)動(dòng)，需確定運(yùn)動(dòng)的初、末狀態(tài)所對(duì)應(yīng)彈簧的形變量以及列出動(dòng)力學(xué)方程，有時(shí)還需應(yīng)用有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式，特別是兩個(gè)物體剛要分離的條件是關(guān)鍵．

4　物體與輕桿和彈簧相連接問題

【例5】(2017年高考江蘇卷第9題)如圖7所示，3個(gè)小球A，B，C的質(zhì)量均為m，球A與球B，球C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，球B，球C置于水平地面上，用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng).現(xiàn)球A由靜止釋放下降到最低點(diǎn)，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°，球A，球B，球C在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則此下降過程中()

C．彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，球A的加速度方向豎直向下

圖7　例5題圖

考點(diǎn)分析：本題考查了連接體問題中整體法和隔離法的應(yīng)用、物體的受力分析、平衡問題、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、機(jī)械能守恒定律等．

解析：球A的動(dòng)能最大時(shí)，球A的加速度為零，豎直方向球A，球B，球C三者組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，由整體法可知球B，球C所受地面的支持力有：2N=3mg，因此選項(xiàng)B正確．

動(dòng)能最大之前球A向下加速，有向下的加速度，對(duì)球A，球B，球C整體有：2N

球A越過動(dòng)能最大位置后開始向下減速，彈簧繼續(xù)伸長(zhǎng)，當(dāng)球A減速到速度為零時(shí)到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)球A有向上的加速度，此時(shí)球B，球C速度也為零，彈簧伸長(zhǎng)量最大，彈性勢(shì)能最大，所以選項(xiàng)C錯(cuò)．

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律可知球A減少的重力勢(shì)能等于彈性勢(shì)能的增加量．有

Ep=mgL(sin60°-sin30°)

所以選項(xiàng)D錯(cuò)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是兩個(gè)特殊位置，一是球A的動(dòng)能最大時(shí)，球A處于平衡狀態(tài)；二是球A在速度為零時(shí)，球A在最低點(diǎn)，球A，球B，球C速度為零．

【例6】(2015年高考江蘇卷第14題)一轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖8所示，4根輕桿OA，OC，AB和CB與兩小球及一小環(huán)通過鉸鏈連接，輕桿長(zhǎng)均為l,球和環(huán)的質(zhì)量均為m，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上．套在轉(zhuǎn)

(1)彈簧的勁度系數(shù)κ；

(2)AB桿中彈力為零時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω0;

圖8　例6題圖

解析：本題以連接體桿、輕彈簧為模型考查了力的合成與分解、受力分析、共點(diǎn)力的平衡、牛頓運(yùn)動(dòng)定律，牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用、圓周運(yùn)動(dòng)及其應(yīng)用、動(dòng)能定理及其應(yīng)用，知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性較強(qiáng)．第(1)問是連接體的平衡問題，采用整體-隔離法；第(2)問小環(huán)受的彈簧彈力與其重力平衡，小球則在重力和OA桿的彈力作用下在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；第(3)問外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置做的功，導(dǎo)致其他能轉(zhuǎn)化為環(huán)增加的重力勢(shì)能和小球增加的重力勢(shì)能以及增加的動(dòng)能，彈簧初態(tài)伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度和末態(tài)縮短的長(zhǎng)度相等，彈性勢(shì)能相同，所以彈力做功為零．

總之，彈簧類問題綜合性很強(qiáng)，物理情景復(fù)雜，物理過程較多，但只要我們仔細(xì)分析物理過程，準(zhǔn)確地進(jìn)行受力分析，確定物體或彈簧所處的特出位置(平衡位置、原長(zhǎng)處、最大型變位置、物體和彈簧剛好分離出等)的條件，找出每一現(xiàn)象所對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，正確判斷各物理量之間的關(guān)系，此類問題一定會(huì)迎刃而解．我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中可以結(jié)合相應(yīng)的問題，采用微專題的形式組織復(fù)習(xí)、研討，以提升學(xué)生解決彈簧問題的能力．