廖捷

【摘 要】高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一般在試卷中分布的是三到五個(gè)小題和一個(gè)大題，主要是考察學(xué)生對(duì)函數(shù)基本形式及圖像變換規(guī)律的運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)部分主要是考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及運(yùn)用不等式解題的綜合知識(shí)，難度屬于中等難度。本文就尋找求解高考大題規(guī)律加以分析。

【關(guān)鍵詞】高考 數(shù)學(xué) 大題規(guī)律

有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的小題壓軸題是新課標(biāo)全國(guó)卷的高頻考題，高頻題型：一是以導(dǎo)數(shù)面目包裝的函數(shù)性質(zhì)題（單調(diào)性、奇偶性、最值等）；二是用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)f（x）的圖象或已知函數(shù)圖象求參數(shù)的取值范圍；三是函數(shù)與集合、不等式、數(shù)列、平面向量、新定義等知識(shí)相交匯.高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題是高考中最難也是體現(xiàn)差距的最大的一道障礙，很顯然單純的訓(xùn)練做一些模擬題目基本很難突破這類題目，下面結(jié)合具體題目談一談高考大題規(guī)律。

一、分離參數(shù)——恒成立問題

分離參數(shù)法是求參數(shù)的取值范圍的一種常用方法.通過分離參數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)討論主變量的變化情況，由此我們可以確定參數(shù)的變化范圍.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.分離參數(shù)法在解決有關(guān)不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問題時(shí)經(jīng)常用到.解題的關(guān)鍵是分離出參數(shù)之后將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題。

例1.設(shè)函數(shù)f（x）=ax^2-3x+1 對(duì)于x∈[-1，1] 總有f（x）≥0 成立，求a 的取值范圍.

解：對(duì)于x∈[-1，1]，ax^2-3x+1≥ 0.故ax^2≥ 3x-1.當(dāng)x= 0時(shí)顯然成立；若x不為0，則有 a≥ （3x-1） / x^2 = 3/x-1/x^2 =9/4- （1/x-3/2）^2設(shè)t =1/x，則 t∈（- ∞，-1]∪[1， + ∞）；再設(shè)g（t） =9/4 - （t -3/2）^2.g（t）的圖象是一開口向下的拋物線，在t = 3/2取最大值.故g（t）≤g（3/2） = 9/4.也就是說(shuō)對(duì)于x∈[-1，1]且x≠0，（3x-1） / x^2≤9/4.∴ a≥9/4.

例2.討論關(guān)于x的方程：lg（x-1）+lg（4-x）=lg（a-x）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).解： 原方程可化為：（x-1）（4-x）=a-x （1

恒成立的問題就是在給出一定的條件下，量變無(wú)論發(fā)生什么變化，命題是-定成立的。要解答恒成立的問題，就要涉及-次函數(shù)、二次函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，恒成立的問題考查了學(xué)生抽象概括的能力、論證的能力以及運(yùn)算解題能力等多種數(shù)學(xué)能力，包含分類與整合思想和數(shù)形結(jié)合思想等多種數(shù)學(xué)思想，還有利于考査學(xué)生的綜合解題能力與解題思維的靈活性并且激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性也符合高考出題的立意，使學(xué)生把數(shù)學(xué)思維和解題方法有效地結(jié)合。由于取值恒成立問題涉及的知識(shí)很廣，綜合性強(qiáng)，學(xué)生在解題時(shí)借用知識(shí)模板來(lái)做題往往得不出結(jié)論，讓學(xué)生琢磨不定，稱為一個(gè)解題的難點(diǎn)。在解決不等式恒成立的問題時(shí)，重要的思維解題方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)圖像和性質(zhì)來(lái)解決問題，也要注意一個(gè)含多個(gè)變量的問題，要確定合適的變量和參數(shù)來(lái)揭示函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，一般就是知道一定范圍已知的變量來(lái)解決范圍的量為參數(shù)。

以2016全國(guó)卷甲：已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）為例：當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；若當(dāng)X （1，+ ）時(shí)，f（x）>0，求a的取值范圍。X （1，+ ）時(shí)，f（x）>0，（x+1）lnx/x-1>a恒成立，設(shè)h（x）=（x+1）lnx/x-1，設(shè)g（x）=-2lnx+（x+1）（x-1）/x，經(jīng)過解題計(jì)算得出a 2。小結(jié)：恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是一個(gè)基本數(shù)學(xué)思想方法，但是這里難點(diǎn)就是最值不容易求，如果用到極限思想，結(jié)合求極限的洛必達(dá)法則，則問題就很簡(jiǎn)單了。

二、分離常數(shù)

分離常數(shù)法在含有兩個(gè)量（一個(gè)常量和一個(gè)變量）的關(guān)系式（不等式或方程）中，要求變量的取值范圍，可以將變量和常量分離（即變量和常量各在式子的一端），從而求出變量的取值范圍。

分離常數(shù)法：為了方便記憶，我們從分子到分母，每一項(xiàng)前系數(shù)依次設(shè)為a，b，c，d，公式推導(dǎo)應(yīng)該用Y=（ax+b）/（cx+d）（c≠0）。所以，將形如Y=（cx+d）/（ax+b）（a≠0）的函數(shù)，分離常數(shù)，變形過程為（ax+b）/（cx+d）=[a/c（cx+d）+b-da/c]/（cx+d）=a/c+（b-da/c）/（cx+d） 。

a/c+（b-da/c）/（cx+d）可以稱作分式一般式分離常數(shù)公式。

這種方法純粹是用到高中數(shù)學(xué)知識(shí)，但是有幾個(gè)難點(diǎn)，第一個(gè)難點(diǎn)是最值不容易求，為了突破這一難點(diǎn)，仍然以以2016全國(guó)卷甲：已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）為例：當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；若當(dāng)X （1，+ ）時(shí)，f（x）>0，求a的取值范圍為例。首先求端點(diǎn)值h（1）=0，于是問題可以轉(zhuǎn)化為兩種情形的可能，第二個(gè)難點(diǎn)是盡管第二種情形還是要求最值，但是往往這種情形會(huì)被第一種情形包含或者否定掉，接下來(lái)第一種情形又可以轉(zhuǎn)化為h（x）>=0恒成立，所以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)（或者導(dǎo)函數(shù)的一部分函數(shù)）的最值問題。設(shè)方程g（x）=0的兩個(gè)根分別記為x1，x2，由韋達(dá)定理可得x1x2=1，因此可以設(shè)x1<10，不設(shè)防x在（1，x2）上遞減，在（x2，+∞）上遞增綜上有，當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）>0恒成立，則a 2。

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中的重要思想和解題方法，用數(shù)形結(jié)合方法可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化；能夠變抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧結(jié)合在一起的方法。通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”這兩大題型的具體分析，揭示出“數(shù)”與“形”之間的緊密關(guān)系，從而把問題優(yōu)化，獲得解決。數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)過程中有些學(xué)生覺得難以理解，有的甚至經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤或混淆的內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合可充分利用“形”，把抽象的問題變得直觀、形象，很容易引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得出結(jié)論。在函數(shù)曲線這個(gè)數(shù)學(xué)問題上，借形解題，不僅要畫出函數(shù)圖像或曲線的大致性轉(zhuǎn)向，而且還有盡量準(zhǔn)確地描繪圖形，特別要注意在同一坐標(biāo)系中，不同的函數(shù)相對(duì)的位置關(guān)系，在圖上一一標(biāo)明，更有助于提高解題的準(zhǔn)確性。 通過圖形構(gòu)造解讀不等式的解集、方程的根以及參數(shù)的范圍；建立數(shù)形結(jié)合模型，處理量與量之間的變化關(guān)系。

函數(shù)的性質(zhì)在高考中占有較高比重，其在函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也是一個(gè)十分重要的知識(shí)點(diǎn)。然而學(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)即函數(shù)中量與量之間的關(guān)系一直視為一大難題，之所以形成這種局面是因?yàn)檫@方面的知識(shí)內(nèi)容較為抽象，理解起來(lái)存在一定難度。為了克服這種不利的教學(xué)現(xiàn)狀，教師可以將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法融入日常教學(xué)活動(dòng)中，借助直觀形象的圖形達(dá)到幫助學(xué)生理解知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想處理相關(guān)數(shù)學(xué)問題。如題：“已知方程x2-4x+3=m有4個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍”此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程根的個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來(lái)解決，即求解函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如此一來(lái)，原本抽象的數(shù)量變化關(guān)系就變得十分具體，數(shù)形模型的建立就是準(zhǔn)確快速解答的前提。

1.借助數(shù)形轉(zhuǎn)化關(guān)系幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念

高中數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)函數(shù)概念課程時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化關(guān)系主要體現(xiàn)為：（1）“由形化數(shù)”：借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的函數(shù)屬性；（2）“由數(shù)化形”：根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征；（3）“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。教師應(yīng)鍛煉學(xué)生靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化函數(shù)的不同表征方式，以完善對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)理解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換能力會(huì)起到很好的教學(xué)效果。

2.借助數(shù)軸的建立幫助學(xué)生深入理解函數(shù)意義

數(shù)軸是高中數(shù)學(xué)常見的一種數(shù)學(xué)事物，在數(shù)學(xué)之形元素中占有重要地位。當(dāng)前缺乏對(duì)函數(shù)方程式具體意義的深入理解的高中生不在少數(shù)，大多停留在簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)層面，致使其函數(shù)的應(yīng)用解題過程常常變得毫無(wú)頭緒。因此，在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)解題教學(xué)中，我們可以引入數(shù)軸模型幫助學(xué)生解讀函數(shù)方程式的數(shù)字意義，從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)和解題應(yīng)用的難度。如題：“已知函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍”在解答此類題目時(shí)，就要根據(jù)函數(shù)解析式，建立坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中分析題目中的數(shù)量關(guān)系，這樣一來(lái)就能準(zhǔn)確地理解題目含義并做出快速解答。

四、函數(shù)單調(diào)性法

先確定函數(shù)在其定義域（或定義域的某個(gè)子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)值域的方法?？紤]這一方法的是某些由指數(shù)形式的函數(shù)或?qū)?shù)形式的函數(shù)構(gòu)成的一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，可直接利用指數(shù)或?qū)?shù)的單調(diào)性求得答案；還有一些形如，看a，d是否同號(hào)，若同號(hào)用單調(diào)性求值域，若異號(hào)則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可采用單調(diào)性求值域。

五、結(jié)語(yǔ)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在新課標(biāo)全國(guó)高考試卷中約占22～27分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的選擇、填空題大多在12，16題的位置，解答題常在20，21題的位置，均屬壓軸題，它也是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容，能否突破函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題是高考得高分的關(guān)鍵.本文聚焦函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題，談其應(yīng)對(duì)策略，旨在幫助考生突破難關(guān)，贏得高考。

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