浙江省杭州高級(jí)中學(xué) (310003) 王希年

我們知道，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與函數(shù)y=ax2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當(dāng)于函數(shù)g(x)=ax2的圖像經(jīng)過(guò)平移而得到的.而函數(shù)y=ax2的圖像可以看作對(duì)函數(shù)y=x2的圖像進(jìn)行了伸縮變換，拋物線的開(kāi)口大小由|a|決定，|a|越大，開(kāi)口越小.也可以把二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像看成是y=ax2和y=bx+c圖像的縱向疊加，也可以看成是y=ax2和y=-bx-c圖像的縱向減損.

波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟：第一，你必須弄清問(wèn)題.第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系.第三，擬定、實(shí)行你的計(jì)劃.第四，驗(yàn)算所得到的解，回顧反思.

在課堂教學(xué)中，我們用波利亞的四個(gè)步驟來(lái)講題.下面通過(guò)一些例題及變式來(lái)講清楚“頂天立地”的方法，以供教學(xué)參考.

一、利用圖像平移，恰好“頂天立地”時(shí)，找問(wèn)題解決方案

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|在[0,2]上的最大值為M，求M的最小值.

分析:1°函數(shù)y=x2+ax+b與y=x2的圖像形狀相同，函數(shù)y=x2+ax+b的圖像相當(dāng)于函數(shù)y=x2的圖像經(jīng)過(guò)平移而得到的.

3°在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，函數(shù)y=x2遞增，遞增速度越來(lái)越快；在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)y=x2遞減，遞減速度越來(lái)越慢.因此，當(dāng)函數(shù)g(x)=x2+ax+b的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[0,2]的中點(diǎn)時(shí)，g(x)max-g(x)min最小，即n-m最小.所以，當(dāng)g(0)=g(2)=M，g(1)=-M.現(xiàn)把直線y=M叫做天線，把直線y=-M叫做地線，g(x)=x2+ax+b的圖像“頂天立地”時(shí)，M取得最小值.

2°圖像分析得出的解是不嚴(yán)密的，在分析好答案后，要嚴(yán)格給出代數(shù)推理并給于論證.

二、利用伸縮變換，恰好“頂天立地”時(shí)，找問(wèn)題解決方案

例2 (2010年全國(guó)聯(lián)賽一試)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′(x)|≤1，試求a的最大值．

分析:1°我們知道f′(x)=3ax2+2bx+c的圖像與函數(shù)y=3ax2的圖像形狀相同，f′(x)的圖像相當(dāng)于函數(shù)g(x)=3ax2的圖像經(jīng)過(guò)平移而得到的，|3a|越大，拋物線的開(kāi)口越小，函數(shù)g(x)=3ax2的圖像可以看成是y=x2的圖像經(jīng)過(guò)伸縮變換而得到的.

變式2 設(shè)函數(shù)f(x)=kx2+ax+b(k>0),記M為函數(shù)y=|f(x)|在[-1,1]上的最大值，N為|a|+|b|的最大值，若M=2k，求N.

分析:1°由文章開(kāi)頭所述，f(x)=kx2+ax+b(a,b∈R)的圖像與函數(shù)y=kx2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當(dāng)于函數(shù)g(x)=kx2的圖像經(jīng)過(guò)平移而得到的.在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，函數(shù)g(x)=kx2遞增，遞增速度越來(lái)越快；在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)g(x)=kx2遞減，遞減速度越來(lái)越慢.

當(dāng)長(zhǎng)度為2的區(qū)間[t,t+2]在g(x)=kx2對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，t>0,g(x)max-g(x)min=g(t+2)-g(t)=4tk+4k>4k;當(dāng)長(zhǎng)度為2的區(qū)間[t,t+2]在g(x)=kx2對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，t<-2,g(x)max-g(x)min=g(t)-g(t+2)=-4tk-4k>4k;但當(dāng)g(x)=kx2對(duì)稱(chēng)軸在[t,t+2]內(nèi)時(shí)，-2≤t≤0，g(x)max-g(x)min=max{g(t),g(t+2)}-g(0)=max{g(t),g(t+2)}≤4k.

2°固定1°中長(zhǎng)度為2的區(qū)間[t,t+2]為[-1,1]，讓函數(shù)g(x)=kx2平移成f(x)的圖像，由1°知道，當(dāng)區(qū)間在f(x)的對(duì)稱(chēng)軸的右邊或左邊時(shí)，f(x)max-f(x)min>4k，因此，f(x)max>2k和

f(x)min<-2k，一定有一個(gè)成立，否則f(x)max-

f(x)min≤4k.這樣必有M>2k.

3°由1°和2°知，當(dāng)a,b滿(mǎn)足M≤2k時(shí)，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，回到原始情形，先把函數(shù)g(x)=kx2的圖像左右平移|t|個(gè)單位，再向下平移-n個(gè)單位，得到y(tǒng)=k(x-t)2+n(-1≤t≤1,-2k≤n<0).即y=kx2-2tkx+kt2+n，當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，f(x)max=f(1)=k(1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1-t)2k對(duì)-1≤t≤0恒成立，則n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.

同理，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，f(x)max=f(-1)=k(-1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1+t)2k對(duì)0≤t≤1恒成立，則n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.此時(shí)y=k(x-t)2-2k(-1≤t≤1),|a|+|b|=2k|t|+k|t2-2|=-kt2+2k|t|+2k=-k(|t|-1)2+3k≤3k，當(dāng)t=±1時(shí)，|a|+|b|取最大值3k.

反思:先確定f(x)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，|a|與左右平移量有關(guān)，|b|與上下平移量有關(guān)，從而猜想|a|+|b|取最大值時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸靠邊，并且{f(-1),f(1)}={-2k,2k}.

三、利用圖像疊加，恰好“頂天立地”時(shí)，找問(wèn)題解決方案

(1)證明：f(b)≤f(a)；(2)設(shè)f(a)-f(b)≤M(a,b)，求M(a,b)的最小值.

分析:分別畫(huà)出y=2x和y=cosπx在[0,1]的圖像，兩圖形疊加即為f(x)=2x+cosπx的圖像，由描點(diǎn)可近似地畫(huà)出f(x)的圖像是有兩個(gè)極值點(diǎn)的N形圖像.

圖1 圖2

圖3

反思:運(yùn)算過(guò)程中適當(dāng)運(yùn)用圖形幫助理解，可以得到更清晰的解題思路，可以提高解題的正確率，所以，我們說(shuō)數(shù)形結(jié)合中，數(shù)也離不開(kāi)形.

變式3 已知f(x)=8x3+ax2+bx，是否存在實(shí)數(shù)a,b，使得對(duì)任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.若存在，求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析:f(x)=8x3+ax2+bx的圖像可以看成是函數(shù)y=8x3和g(x)=ax2+bx的圖像疊加，y=8x3在[-1,1]上的值域?yàn)閇-8,8]，與g(x)=ax2+bx的圖像疊加后，要使|f(x)|≤2成立，先考察兩端，必須g(1)=a+b≤-6,g(-1)=a-b≥6，相減消去a得b≤-6，但當(dāng)a>0時(shí)，f(1)=8+a+b≤2+a，|f(1)|≤2不一定成立；當(dāng)a<0時(shí)，f(-1)=-8+a-b≥-2+a，|f(-1)|≤2不一定成立；

圖4

畫(huà)圖疊加，當(dāng)a≠0時(shí)，|f(x)|≤2不恒成立.

上圖是函數(shù)y=8x3和g(x)=-6x的圖像疊加所得，圖像與直線y=2和直線y=-2“頂天立地”，若改變b的取值，就會(huì)改變這種極致情形，使得|f(x)|≤2不恒成立.所以存在a=0，b=-6，使得對(duì)任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.

解析:根據(jù)題意，有

四、利用圖像減損，恰好“頂天立地”時(shí)，找問(wèn)題解決方案

圖5

首先，任意一條與拋物線E無(wú)公共點(diǎn)的線段，都可以通過(guò)平移，使其與拋物線E有公共點(diǎn)，并在此過(guò)程中，M(a,b)變小，如圖5.

圖6

反思：前面題中的天、地線是水平的，本題的天、地線是斜向的.這不影響問(wèn)題的本質(zhì).

圖7

解析:設(shè)f(x)=

課堂教學(xué)中，要想讓學(xué)生聽(tīng)懂，且印象深刻，就要從問(wèn)題的本質(zhì)入手，要做充分的鋪墊.課堂教學(xué)中要講透一道題，不僅要講方法，還要講內(nèi)涵，講背景，這樣學(xué)生對(duì)這道題的認(rèn)識(shí)是立體的.本文從圖像變換及圖像的疊加和減損的視角，來(lái)揭示一類(lèi)多元參數(shù)題的內(nèi)在本質(zhì)，之中幾何圖像運(yùn)動(dòng)變化輔助較多，代數(shù)問(wèn)題直觀展示，形數(shù)互助，善莫大焉，這正如單墫教授在一書(shū)中寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)大花園里，幾何是最美的部分”[3]，數(shù)學(xué)老師應(yīng)該多用點(diǎn)時(shí)間把數(shù)學(xué)的直觀美感展現(xiàn)給你的學(xué)生.

[1]波利亞.怎樣解題[M]，涂泓，馮承天譯，上?？萍汲霭嫔纾?007.

[2]石秀福，王希年.一類(lèi)二次函數(shù)考題的平移背景研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(7)42-45.

[3]單墫平面幾何的小花[M]，上海教育出版社，2002.