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        巧用數(shù)形結(jié)合解最值與范圍問題

        2018-07-02 03:55:38河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院475001
        關(guān)鍵詞:最值數(shù)形向量

        河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (475001) 盧 陽

        最值與范圍問題作為高考常考題型,分布在函數(shù)、線性規(guī)劃、不等式、向量等問題中,具有較強(qiáng)的綜合性.數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用往往可使這些問題變得更直觀、簡捷,并可以很好地考察學(xué)生知識間的建構(gòu)情況,下?lián)駭?shù)例說明之.

        一、函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合

        函數(shù)中的最值和范圍問題通常采用求導(dǎo)、判別式法、直接觀察法、換元法等.但一些問題用常規(guī)方法不易或不能處理,此時如能找到函數(shù)的幾何意義,往往會迅速找到解題思路.

        圖1

        點(diǎn)評:該題使函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴},讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的魅力,提高學(xué)生對此方法的興趣,減少學(xué)生對難題的畏難心理.

        圖2

        圖3

        點(diǎn)評:此類問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn).該題從不同角度進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.引入了具有良好的代數(shù)與幾何性質(zhì)的圓和具有數(shù)與形于一體的向量,使學(xué)生體會到如何思考和解決以形代數(shù)的問題.我們要借助此題引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的觀念.

        二、線性規(guī)劃中的數(shù)形結(jié)合

        線性規(guī)劃問題常見模型有斜率型、點(diǎn)到直線距離型、兩點(diǎn)間距離型,但在中學(xué)階段還可以有很多其他類型的線性規(guī)劃問題.接下來,我們看兩例結(jié)合圓錐曲線的線性規(guī)劃問題.

        圖4

        圖5

        分析:此題和上題一樣,可行域很容易確定.但目標(biāo)函數(shù)不常規(guī),觀察x2+2y2,令k=x2+2y2,可以看出這是一個中心在原點(diǎn)的橢圓.

        點(diǎn)評:例3、例4為求圓錐曲線類的目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,巧妙的將學(xué)過的幾個圓錐曲線融合到該類問題,可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察和探索能力,并讓他們感受到知識點(diǎn)之間的聯(lián)系.

        三、向量問題中的數(shù)形結(jié)合

        向量是具有“數(shù)”與“形”于一體的數(shù)學(xué)概念,是各個知識點(diǎn)聯(lián)系的橋梁.我們在解決向量問題時,合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,可以使抽象問題直觀化,從而降低問題難度.

        圖6 圖7 圖8

        點(diǎn)評:該題以常見的數(shù)形結(jié)合模型向量為載體,考察圓心距、向量垂直有關(guān)知識.其中由向量垂直想到圓是常見的思維過程,應(yīng)該多加注意.

        四、求參數(shù)范圍中的數(shù)形結(jié)合

        求參數(shù)范圍是導(dǎo)函數(shù)問題中的??碱},一般可采取分離參數(shù)法、分類討論、數(shù)形結(jié)合.簡單問題用前兩種方法很好處理,但復(fù)雜問題分離參數(shù)后計(jì)算量較大,且需要利用洛必達(dá)法則.如若可以將復(fù)雜函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù),再利用數(shù)形結(jié)合,會降低解題難度,使問題很好解決.

        例6 已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+(a-1)x-2有三個零點(diǎn),求a的取值范圍.

        分析:觀察此題發(fā)現(xiàn)用分離參數(shù)法需要分類討論,比較麻煩.如果分離函數(shù)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將會大大加快解題效率.

        圖9

        點(diǎn)評:此題采用分離函數(shù)法,將復(fù)雜問題變成兩個簡單函數(shù)的問題,大大減少了計(jì)算量,并且說明起來很方便.在此類問題中數(shù)形結(jié)合往往可以起到關(guān)鍵作用,應(yīng)多加體會.

        五、小結(jié)

        通過以上幾例,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的很多模塊都起著不可或缺的作用,可以加快解題速度,降低思維難度.更重要的是,能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性,提高對數(shù)學(xué)的興趣.教師在教學(xué)中應(yīng)該鼓勵學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決問題,并應(yīng)該有意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,形成對常見圖形的敏銳直覺,使之內(nèi)化到他們的知識體系中.

        [1]魏芳.數(shù)形結(jié)合,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義[J].教學(xué)與管理,2012,(32):33-34.

        [2]陳玉娟.數(shù)形結(jié)合思想貴在“結(jié)合”——一類問題錯解引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)通報,2012(10):38-41.

        [3]劉驍.探究在參數(shù)取值范圍中數(shù)形結(jié)合法的慣用技巧[J].文理導(dǎo)航·教育研究與實(shí)踐,2016,(11):151-152.

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