陳菊芳，徐 影，于倩倩

(東北師范大學(xué) a.物理學(xué)院；b.物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué))，吉林 長(zhǎng)春 130024)

2008年美國(guó)惠普實(shí)驗(yàn)室采用納米技術(shù)成功實(shí)現(xiàn)具有“記憶”特性的元件——憶阻器[1]，電路設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)元件由電阻、電容和電感增加到了4個(gè). 由于憶阻器是有記憶功能的非線性電阻，其潛在的應(yīng)用價(jià)值引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，其中利用憶阻的非線性特征實(shí)現(xiàn)混沌電路是研究的熱點(diǎn)之一. 憶阻器的磁通量φ與累積電荷q之間的關(guān)系用φ-q或q-φ平面上的曲線f(φ,q)=0來(lái)確定[1-3]. 當(dāng)f(φ,q)=0由磁通的單值函數(shù)表示時(shí)，稱為磁控憶阻器，特性曲線的斜率W(φ)=dq(φ)/dφ稱為憶導(dǎo). 憶阻器模型有多種，較為常見(jiàn)的是分段線性和三次光滑模型. 目前大多數(shù)憶阻電路是通過(guò)用不同憶阻器來(lái)替換蔡氏電路中的蔡氏二極管，得到一系列的蔡氏憶阻混沌電路[4-7]. 文獻(xiàn)[8]利用文氏橋振蕩器和憶阻器實(shí)現(xiàn)了憶阻混沌電路，文獻(xiàn)[9]利用雙T網(wǎng)絡(luò)和憶阻器設(shè)計(jì)出了憶阻混沌電路，但憶阻器采用的均為分段線性模型.

本文采用RC單T選頻網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的振蕩電路和三次光滑型憶阻器設(shè)計(jì)了2種混沌電路. 憶阻器三次光滑的非線性函數(shù)為q(φ)=aφ+bφ3，由此可得到憶導(dǎo)為

W(φ)=a+3bφ2,

(1)

其中a>0,b>0.RC單T振蕩電路和憶阻器的耦合方式不同，得到不同特性的憶阻混沌系統(tǒng)，并進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn). 由于憶阻器的記憶特性，憶阻混沌電路比一般混沌電路具有更豐富的動(dòng)力學(xué)行為. 雖然目前憶阻器還未商品化，在電路上只能用等效電路來(lái)模擬，但將來(lái)能以經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的材料制作出既便宜又實(shí)用的第4種元器件，即可用憶阻器代替非線性電路，使混沌電路既簡(jiǎn)單又易實(shí)現(xiàn).

1 并聯(lián)型憶阻混沌電路

1.1 憶阻混沌電路

設(shè)計(jì)的并聯(lián)型憶阻混沌電路如圖1所示. 虛線框內(nèi)的電路為單T正弦波振蕩電路，R2，C2，R3，C3構(gòu)成單T選頻網(wǎng)絡(luò)，起選頻兼正反饋功能，與該網(wǎng)絡(luò)常用的帶阻濾波特性不同，設(shè)R2=R3=R0，C2=C3=C0，按照?qǐng)D1電路的連接方式，可求得運(yùn)放A1同向端電壓v+1與輸出端電壓vo1之比，即正反饋系數(shù)為

(2)

圖1 并聯(lián)型憶阻混沌電路

憶阻器的電流為

即可得到相應(yīng)憶導(dǎo)值的表達(dá)式為

(3)

圖2 磁控憶阻器模擬電路

憶阻器和振蕩電路通過(guò)電阻R和電容C構(gòu)成的低通濾波電路進(jìn)行耦合，電容C與憶阻器并聯(lián)，借助于憶阻器的非線性特性，若選擇合適的電路參量，可產(chǎn)生混沌信號(hào).

根據(jù)基爾霍夫定律，得到圖1電路的狀態(tài)方程為

(4)

選取R2=R3=R0=0.2 kΩ，C2=C3=C0=100 nF，Ra=22 kΩ，Rb=10 kΩ，Rc=Rd=1 kΩ，Re=0.98 kΩ，R4=0.2 kΩ，C4=100 nF，R5=1 kΩ，R6=10.6 kΩ，R7=R9=9 kΩ，R8=914 Ω，R10=1 kΩ，R=1.33 kΩ. 通過(guò)改變電容C，可觀察到電路呈現(xiàn)豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

與一般混沌系統(tǒng)不同，令(4)式各方程等號(hào)左端為零，可得該式的平衡點(diǎn)為集合B={(vC1,vC2,vC3,-vφ)|vC1=vC2=vC3=0,-vφ=c}，c是常量，即-vφ坐標(biāo)上的點(diǎn)集均是平衡點(diǎn). 通過(guò)對(duì)(4)式在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性分析知，在C=3～50 nF范圍，平衡點(diǎn)集B除零特征根之外的3個(gè)特征根的實(shí)部不都為負(fù)，說(shuō)明在此范圍內(nèi)平衡點(diǎn)集B是不穩(wěn)定的，這也可通過(guò)圖3所示的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜進(jìn)一步證明. 為清晰可見(jiàn)，圖3(b)只畫出前3個(gè)Lyapunov指數(shù)，第4個(gè)Lyapunov指數(shù)只畫出一部分，當(dāng)有1個(gè)指數(shù)為正時(shí)表明系統(tǒng)是混沌的. 由圖3(a)可見(jiàn)，隨著電容C逐漸減小，圖1電路的運(yùn)行軌跡從無(wú)窮發(fā)散突變?yōu)椴环€(wěn)定的周期軌道，經(jīng)過(guò)倍周期分岔后進(jìn)入混沌軌道，混沌軌道經(jīng)切分岔進(jìn)入5周期窗口，再產(chǎn)生Hopf分岔演變成混沌軌道帶，再進(jìn)入新的混沌軌道，直至發(fā)散而趨近無(wú)窮，在混沌帶中電路又存在若干個(gè)周期窗口.

由于篇幅所限，圖4給出了幾種典型的周期軌道、混沌軌道的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，其中(a)，(b)和(c)為C取不同值時(shí)-vφ與vC1的相圖，它們分別呈現(xiàn)2周期、單渦卷混沌和雙渦卷混沌吸引子. (d)，(e)和(f)為對(duì)應(yīng)的憶阻器的伏安特性曲線，印證了憶阻元件無(wú)論在周期態(tài)還是混沌態(tài)所呈現(xiàn)出的斜“8”型的伏安特性.

(a) vC1的分岔圖

(b) Lyapunov指數(shù)譜

(a) C=7.0 nF (b) C=6.2 nF (c) C=3.3 nF

(d) C=7.0 nF (e) C=6.2 nF (f) C=3.3 nF圖4 C取不同值時(shí)方程(4)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果

1.2 電路仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)電路的正確性，利用Multisim電路仿真軟件進(jìn)行了電路實(shí)驗(yàn). 圖5是當(dāng)電容C取不同值時(shí)的部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中(a)，(b)和(c)為-vφ與vC1的相圖，它們分別呈現(xiàn)2周期、單渦卷混沌和雙渦卷混沌吸引子. (d)，(e)和(f)為對(duì)應(yīng)的憶阻器的伏安特性曲線，憶阻電流iM通過(guò)取樣電阻R10兩端電壓獲得，即v10=iMR10，為了觀測(cè)憶阻特性方便，選取R10=1 kΩ.

與圖4結(jié)果比較可見(jiàn)，電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果得到的相圖基本一致，只是電容C值稍有不同.

(a) C=6.25 nF (b) C=5.6 nF (c) C=3.3 nF

(d) C=6.25 nF (e) C=5.6 nF (f) C=3.3 nF圖5 電路仿真的結(jié)果

2 串聯(lián)型憶阻混沌電路

串聯(lián)型憶阻混沌電路如圖6所示. 耦合電容C與耦合電阻R并聯(lián)，再與憶阻器串聯(lián)，其他電路結(jié)構(gòu)不變，此時(shí)憶阻器兩端的電壓變?yōu)関M=vC1+vC2. 雖然電路結(jié)構(gòu)變化不大，但電路的動(dòng)力學(xué)行為卻不同.

圖6 串聯(lián)型憶阻混沌電路

由圖6得到電路的狀態(tài)方程為選取Ra=20.5 kΩ，R5=1.5 kΩ，R6=10 kΩ，R8=1.3 kΩ，R=2 kΩ，其他電路元件參量與圖1混沌電路相同. 電容C由大至小變化，畫出變量vC1變化的分岔圖如圖7(a)所示. 可見(jiàn)，當(dāng)電容C>10 nF時(shí)，電路處于周期狀態(tài)，且變量vC2有著與其他變量不同的振蕩頻率，稱為電路存在快慢效應(yīng)現(xiàn)象. 選取C=12.5 nF，畫出vC1與vC2的時(shí)域波形如圖7(b)和(c)所示，vC2為1周期態(tài)，其頻率為8.0 kHz，vC1為3周期態(tài)；當(dāng)C=10 nF時(shí)，電路狀態(tài)發(fā)生突變，且所有變量都變?yōu)?周期態(tài)，即電路快慢效應(yīng)現(xiàn)象消失，隨著C的減小，電路發(fā)生倍周期分岔后進(jìn)入混沌狀態(tài)；混沌軌道經(jīng)切分岔進(jìn)入3周期窗口，再產(chǎn)生Hopf分岔進(jìn)入混沌軌道，再2次進(jìn)入5周期窗口，直至當(dāng)C減小至1 nF左右，電路狀態(tài)發(fā)生突變，進(jìn)入周期振蕩狀態(tài)，電路又出現(xiàn)快慢效應(yīng)現(xiàn)象.

取C=2.5 nF，數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)(5)的Lyapunov指數(shù)為：0.140 0，0.007 7,0.006 2，-4.116 7，在誤差允許范圍內(nèi)存在正數(shù)，說(shuō)明此時(shí)電路處于混沌狀態(tài). 分別畫出-vφ與vC1的相圖、憶阻器的伏安特性曲線如圖8所示，表明它們是雙渦卷混沌吸引子.

圖9為C=2.5 nF時(shí)電路仿真結(jié)果，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)電路的正確性.

(a) vC1的分岔圖

(b) vC1的時(shí)域波形圖

(c) vC2的時(shí)域波形圖圖7 電容C變化時(shí)方程(5)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果

(a) 混沌吸引子

(b) 憶阻器的伏安特性曲線圖8 C=2.5 nF數(shù)值計(jì)算的結(jié)果

(a) 混沌吸引子

(b) 憶阻器的伏安特性曲線圖9 C=2.5 nF電路仿真結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

利用RC單T選頻網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的正弦波振蕩電路與憶阻器通過(guò)不同的耦合方式設(shè)計(jì)出了2種憶阻混沌電路，并通過(guò)分岔圖、Lyapunov指數(shù)和相圖等方法分析了電路的基本動(dòng)力學(xué)行為，觀測(cè)到了當(dāng)耦合電容C值變化時(shí)電路出現(xiàn)的諸如倍周期分岔、周期窗口、快慢效應(yīng)等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為. 對(duì)這2種憶阻混沌電路進(jìn)行了電路仿真研究，得到的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了憶阻混沌電路的正確性和有效性. 由于所設(shè)計(jì)的電路不含電感，因而具有很好的魯棒性.

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