武家銘

(執(zhí)信中學(xué)，廣東 廣州 510080)

中心力場作用下物體的運(yùn)動規(guī)律問題是物理學(xué)中的基本問題. 天體物理中行星在引力作用下繞恒星的公轉(zhuǎn)[1]和類氫原子中核外電子在電磁力作用下繞原子實(shí)運(yùn)動的玻爾模型屬于單中心力場問題[2]，月球在太陽和地球共同作用下的運(yùn)動以及雙原子分子中電子的運(yùn)動則屬于雙中心力場問題，而晶體內(nèi)電子和空穴等帶電載流子在晶格產(chǎn)生的周期性電場中的運(yùn)動則屬于多中心力場問題[3]. 可以說，中心力場問題貫穿了物理學(xué)的許多分支領(lǐng)域，是一個具有重要意義的基本問題，因此常被設(shè)置為物理教學(xué)的重要內(nèi)容[4-5].

從原子到天體，中心力場問題涉及的物體形態(tài)各異，幾何尺度跨度達(dá)數(shù)十個數(shù)量級，不易理解，若能在課堂上模擬和演示不同尺度、不同數(shù)量中心力場下物體的運(yùn)動，將有助于學(xué)生理解該問題. 為此，設(shè)計(jì)并制作了中心力場演示實(shí)驗(yàn)裝置. 該裝置利用紐扣型磁鐵產(chǎn)生的磁場模擬不同形式的中心力場，利用可被磁化的金屬小球作為在力場中運(yùn)動的物體，使用高速攝像機(jī)拍攝小球運(yùn)動的視頻，結(jié)合分析軟件[6]，提取金屬小球在力場中運(yùn)動的軌跡、速度、加速度、動量等多種動力學(xué)參量. 在此基礎(chǔ)上，編寫程序?qū)π∏虻倪\(yùn)動進(jìn)行數(shù)值模擬，并將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比.

1 實(shí)驗(yàn)裝置

裝置的原理如圖1所示，分成3層，全部由有機(jī)玻璃制作，上層和下層厚度為5mm，中間層厚度為8mm. 中間層按周期性結(jié)構(gòu)制作了二維的小孔陣列，小孔間距為20mm. 小孔直徑為10mm，可放置直徑為10mm的紐扣形銣鐵硼強(qiáng)磁鐵. 上下層夾緊后，孔內(nèi)的磁鐵位置固定，不會因外作用而翻轉(zhuǎn). 讓被磁化的小金屬球在上層有機(jī)玻璃板上移動，以模擬中心力場中的運(yùn)動物體. 由于二維小孔陣列內(nèi)放置磁鐵的位置、數(shù)量和磁鐵的極性可自由選擇，故可用來模擬單中心、雙中心、多中心甚至周期性中心等多種力場中物體的運(yùn)動. 金屬小球通過導(dǎo)軌滑入力場，導(dǎo)軌的傾斜角度和長度可調(diào)，故小球的數(shù)量、大小和初始運(yùn)動速度等參量也可在一定范圍內(nèi)定量調(diào)節(jié).

圖1 中心力場演示實(shí)驗(yàn)裝置原理圖

圖2是演示裝置實(shí)物的局部圖，模擬具有4個中心的力場. 將紐扣形磁鐵堆疊成柱狀可阻止金屬球運(yùn)動到磁鐵的頂部，避免后續(xù)的受力分析必須同時(shí)考慮磁鐵邊界之內(nèi)和之外2種情況，將數(shù)值模擬簡化為二維模型.

圖2 中心力場實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

小球進(jìn)入力場后，采用最快的拍攝速度為500幀/s的JVCGC-P100型高速攝像機(jī)拍攝小球的運(yùn)動視頻，導(dǎo)入Tracker視頻分析軟件進(jìn)行分析，提取小球的位置和速度隨時(shí)間變化的定量數(shù)據(jù). 計(jì)入小球的質(zhì)量后，還可進(jìn)一步計(jì)算小球的動量和動能.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬

2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

小球沿斜面滑入中心力場后，呈現(xiàn)出復(fù)雜多樣的運(yùn)動軌跡，且對實(shí)驗(yàn)條件很敏感. 小球的運(yùn)動軌跡與其大小、入射速度、入射方向，磁鐵的位置、數(shù)量，以及小球與磁鐵之間的距離等多種因素有關(guān). 但在磁鐵位置和數(shù)量確定、小球大小確定、斜面的傾斜角度確定、小球釋放位置確定的情況下，小球運(yùn)動的軌跡基本可以重現(xiàn). 圖3所示為Tracker軟件提取的單個中心時(shí)小球的運(yùn)動軌跡，展示了小球運(yùn)動完全不受中心力場影響，在中心力場作用下運(yùn)動方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，被力心束縛等多種不同的受力情況. 圖3中十字線的交點(diǎn)為力場中心的位置. 圖4則為雙中心力場下小球的1種運(yùn)動軌跡.

圖3 單中心力場下運(yùn)動軌跡的提取

圖4 雙中心力場下運(yùn)動軌跡的提取

2.2 運(yùn)動軌跡的數(shù)值模擬

可磁化小球在紐扣形磁鐵產(chǎn)生的中心力場中的受力與磁場的梯度成比例，表現(xiàn)為非線性力[7]，且不滿足距離的平方反比關(guān)系，故運(yùn)動軌跡的精確解難以得到. 本文采用半經(jīng)驗(yàn)的方法進(jìn)行數(shù)值模擬. 先將小球用細(xì)繩黏緊，用數(shù)字式拉力計(jì)牽引細(xì)繩，測出拉力F隨小球與磁鐵中心距離x的變化數(shù)據(jù)，采用式(1)所示的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，得到確定的(a0，…，a6)參量后，再代入運(yùn)動方程，用數(shù)值積分的方法計(jì)算出小球的運(yùn)動軌跡，即

(1)

實(shí)驗(yàn)中，小球的質(zhì)量為3.47 g，計(jì)算的時(shí)間間隔dt與高速攝像機(jī)的500幀/s的拍攝速度匹配，取dt=2 ms.

用Matlab編制[8]的雙中心力場下圖形化仿真計(jì)算程序界面如圖5所示，可手動輸入2個力心的位置(Cx,Cy)、小球受力擬合公式的系數(shù)、小球初始位置(x0,y0)、初始速度(vx0,vy0)、計(jì)算時(shí)間間隔dt、計(jì)算總時(shí)間T等參量. 圖中的長度統(tǒng)一用m為單位. 實(shí)驗(yàn)中，2個力心的位置分別為(50 mm，0)，(-50 mm，0),小球初始位置為(-200 mm,-40 mm)，初始速度為139 mm·s-1,44.79 mm·s-1，擬合函數(shù)為

0.195 3x3+0.016 1x4-0.000 7x5+0.000 1x6.

(2)

圖5 雙中心力場圖形化仿真計(jì)算程序計(jì)算結(jié)果

輸入圖4實(shí)驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)的初始參量后，計(jì)算得到的小球軌跡如圖5中的曲線所示，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致. 圖6所示為小球被四中心力場束縛時(shí)的閉合軌跡，也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對應(yīng).

圖6 被四中心場束縛時(shí)的運(yùn)動路徑

3 結(jié)束語

實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果表明：基于二維圓孔陣列的多中心力場運(yùn)動演示裝置可以綜合演示單中心、雙中心、四中心甚至周期性中心力場內(nèi)物體的運(yùn)動情況，且能夠方便調(diào)控力心的數(shù)量、位置及運(yùn)動物體的大小、 初始位置和速度等參量. 采用半經(jīng)驗(yàn)的方法擬合小球受力公式后，數(shù)值計(jì)算得到的運(yùn)動軌跡與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合. 實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)合，可以較好地演示物理教學(xué)中涉及中心力場的運(yùn)動問題.

參考文獻(xiàn)：

[1] 薛中偉. 行星運(yùn)動的力學(xué)分析[J]. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào),2011,33(2):265-266.

[2] 鄭樂民. 原子物理[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社,2010.

[3] 蔣平，徐至中. 固體物理簡明教程[M]. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2007.

[4] 張鐵強(qiáng). 大學(xué)物理學(xué)(下冊)[M]. 北京:高等教育出版社,2007.

[5] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理(選修3-1)[M]. 北京：人民教育出版社,2010.

[6] Tracker4.85 05Apr 2014 Douglas Brown help文件[M]. 2014.

[7] 趙凱華，陳熙謀. 新概念物理教程·電磁學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2006.

[8] 劉浩. MatLab R2014a 完全自學(xué)一本通[M]. 北京:電子工業(yè)出版社,2015.