曾 蓓,程敏熙

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

復(fù)擺實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的重要實(shí)驗(yàn). 本文對(duì)復(fù)擺實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了改進(jìn)，通過對(duì)復(fù)擺擺動(dòng)過程進(jìn)行拍攝，并利用Tracker軟件跟蹤軌跡，擬合后通過計(jì)算得到復(fù)擺振動(dòng)周期，進(jìn)而繪制關(guān)系曲線圖像，并用2種數(shù)據(jù)處理方法計(jì)算重力加速度，從而簡(jiǎn)化了3實(shí)驗(yàn).

1 復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)原理

在忽略空氣阻力影響的情況下，質(zhì)量為m的復(fù)擺在重力矩作用下運(yùn)動(dòng)，周期為

(1)

其中I為復(fù)擺通過懸掛點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，h為質(zhì)心到懸掛點(diǎn)的距離. 根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理有I=I0+mh2，其中I0為復(fù)擺繞通過重心且沿水平方向的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 代入式(1)中，得

(2)

(3)

與單擺的周期表達(dá)式相比，此時(shí)的等效擺長(zhǎng)為

(4)

通常情況下，與復(fù)擺的某個(gè)振動(dòng)周期T對(duì)應(yīng)的h值分別為h1和h2，2個(gè)值對(duì)應(yīng)的等效擺長(zhǎng)相等，代入式(4)并整理得a2=h1h2，再代入式(4)后，得l=h1+h2. 通過實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)繪制出的T-h關(guān)系曲線，可得與任一振動(dòng)周期T相對(duì)應(yīng)的等效擺長(zhǎng)，故振動(dòng)周期T可表示為

(5)

2 測(cè)量重力加速度的方法

根據(jù)復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有2種計(jì)算重力加速度的方法：

1)等效擺長(zhǎng)法. 根據(jù)式(5)，取T-h關(guān)系曲線(如圖1所示)中同一振動(dòng)周期對(duì)應(yīng)的2個(gè)值h1和h2，求得出等效擺長(zhǎng)后，代入式(5)中求得重力加速度g.

圖1 等效擺長(zhǎng)示意圖

2)直線擬合法[1]. 由式(2)變形可得

(6)

做T2h-h2的關(guān)系直線圖，求直線斜率進(jìn)而求g.

3 實(shí)驗(yàn)步驟及數(shù)據(jù)分析

1)實(shí)驗(yàn)儀器

復(fù)擺由鋼尺每隔3 cm鉆孔制成，因是自制的實(shí)驗(yàn)儀器故其質(zhì)心位置未知，可采用懸掛法測(cè)出復(fù)擺的質(zhì)心.

2)運(yùn)動(dòng)過程拍攝

依小孔順序?qū)?fù)擺懸掛在鐵架臺(tái)上，在復(fù)擺下部貼一白色小紙片作為跟蹤標(biāo)記，拍下復(fù)擺在平面內(nèi)小角度擺動(dòng)過程，直至將所有不同小孔懸掛時(shí)的擺動(dòng)過程拍攝完畢.

3)選定并追蹤復(fù)擺的振動(dòng)軌跡

進(jìn)入Tracker的主界面打開拍攝的視頻后，選取合適的片段進(jìn)行追蹤，創(chuàng)建1個(gè)質(zhì)點(diǎn)后，長(zhǎng)按“Ctrl+Shift”鍵，同時(shí)用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊紙片，并選擇需要追蹤的紙片的模板，選擇自動(dòng)追蹤并按下搜索鍵，得到復(fù)擺運(yùn)動(dòng)的軌跡點(diǎn)，如圖2所示.

圖2 Tracker主界面及質(zhì)點(diǎn)追蹤過程

4)數(shù)據(jù)處理

將鼠標(biāo)移至右上方的位移-時(shí)間關(guān)系曲線，點(diǎn)擊“分析”按鈕，即可彈出數(shù)據(jù)處理的窗口，點(diǎn)擊“擬合”，便會(huì)根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)過程的圖像描繪出擬合曲線，并在下方給出擬合曲線方程的相關(guān)數(shù)據(jù). 為使圖像的擬合更加準(zhǔn)確，根據(jù)阻尼振動(dòng)公式，可將公式編輯為[2]

x=A*exp (-B*t)*sin (C*t+D)，

并根據(jù)擬合方程的數(shù)值得到復(fù)擺的振動(dòng)周期，如圖3所示.

圖3 位移-時(shí)間擬合圖像

按照上述方法可求出復(fù)擺的第1個(gè)孔懸掛于鐵架臺(tái)時(shí)的振動(dòng)周期為T=1.268 s，同理根據(jù)此方法可依次求得復(fù)擺上的其他小孔懸掛于鐵架臺(tái)時(shí)的振動(dòng)周期. 將復(fù)擺每個(gè)懸掛點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期及質(zhì)點(diǎn)到懸掛點(diǎn)間的距離的數(shù)據(jù)整理到表1中.

表1 復(fù)擺實(shí)驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)

5)計(jì)算重力加速度

a.等效擺長(zhǎng)法

圖4 等效擺長(zhǎng)取值示意圖

取用Matlab軟件所繪制出的T-h關(guān)系曲線中同一振動(dòng)周期的對(duì)應(yīng)的2個(gè)h值，如圖4所示. 從圖4可以看出， 當(dāng)懸掛點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離復(fù)擺質(zhì)心的過程中，其振動(dòng)周期先逐漸變小，達(dá)到最小值后，又逐漸增大. 圖4中根據(jù)所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出的T-h圖像與文獻(xiàn)[3]中的相一致.

T=1.247 s時(shí)對(duì)應(yīng)的h值分別為13.36 cm和25.31 cm，得出等效擺長(zhǎng)L=38.67 cm，求得重力加速度為g=9.817 m/s2. 由于該實(shí)驗(yàn)是在廣州地區(qū)進(jìn)行，通過查閱資料可知，廣州地區(qū)的重力加速度值為g=9.788 m/s2. 計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)值與公認(rèn)值的相對(duì)偏差為0.3%.

b.直線擬合法

根據(jù)式(6)，選取中間部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)，作出T2h-h2的關(guān)系圖像并進(jìn)行擬合，其中T2h和h2的數(shù)據(jù)如表2所示. 根據(jù)表2畫出T2h-h2關(guān)系圖，如圖5所示. 經(jīng)擬合得：斜率k=4.017，截距b=0.137 1，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 8，故g=9.827 m/s2,相對(duì)偏差為0.4%.

表2 T2h和h2的相關(guān)數(shù)據(jù)

圖5 T2h-h2關(guān)系圖

4 結(jié)束語(yǔ)

用復(fù)擺法測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，關(guān)鍵在于測(cè)量復(fù)擺的振動(dòng)周期. 通過上述實(shí)驗(yàn)可以看到，用拍攝實(shí)驗(yàn)視頻的方法，輔以Tracker軟件的軌跡追蹤和數(shù)據(jù)分析，使本實(shí)驗(yàn)相對(duì)于傳統(tǒng)的復(fù)擺實(shí)驗(yàn)來說，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)儀器的同時(shí)，還使得操作簡(jiǎn)潔高效. 實(shí)驗(yàn)者可以利用身邊有攝像功能的手機(jī)或相機(jī)進(jìn)行拍攝，并用電腦軟件進(jìn)行分析，有利于提高實(shí)驗(yàn)者的興趣.

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