曾 蓓,程敏熙

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

復(fù)擺實驗是大學(xué)物理實驗中的重要實驗. 本文對復(fù)擺實驗進行了改進，通過對復(fù)擺擺動過程進行拍攝，并利用Tracker軟件跟蹤軌跡，擬合后通過計算得到復(fù)擺振動周期，進而繪制關(guān)系曲線圖像，并用2種數(shù)據(jù)處理方法計算重力加速度，從而簡化了3實驗.

1 復(fù)擺的運動原理

在忽略空氣阻力影響的情況下，質(zhì)量為m的復(fù)擺在重力矩作用下運動，周期為

(1)

其中I為復(fù)擺通過懸掛點的轉(zhuǎn)動慣量，h為質(zhì)心到懸掛點的距離. 根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有I=I0+mh2，其中I0為復(fù)擺繞通過重心且沿水平方向的軸的轉(zhuǎn)動慣量. 代入式(1)中，得

(2)

(3)

與單擺的周期表達式相比，此時的等效擺長為

(4)

通常情況下，與復(fù)擺的某個振動周期T對應(yīng)的h值分別為h1和h2，2個值對應(yīng)的等效擺長相等，代入式(4)并整理得a2=h1h2，再代入式(4)后，得l=h1+h2. 通過實驗所得數(shù)據(jù)繪制出的T-h關(guān)系曲線，可得與任一振動周期T相對應(yīng)的等效擺長，故振動周期T可表示為

(5)

2 測量重力加速度的方法

根據(jù)復(fù)擺的運動規(guī)律，有2種計算重力加速度的方法：

1)等效擺長法. 根據(jù)式(5)，取T-h關(guān)系曲線(如圖1所示)中同一振動周期對應(yīng)的2個值h1和h2，求得出等效擺長后，代入式(5)中求得重力加速度g.

圖1 等效擺長示意圖

2)直線擬合法[1]. 由式(2)變形可得

(6)

做T2h-h2的關(guān)系直線圖，求直線斜率進而求g.

3 實驗步驟及數(shù)據(jù)分析

1)實驗儀器

復(fù)擺由鋼尺每隔3 cm鉆孔制成，因是自制的實驗儀器故其質(zhì)心位置未知，可采用懸掛法測出復(fù)擺的質(zhì)心.

2)運動過程拍攝

依小孔順序?qū)?fù)擺懸掛在鐵架臺上，在復(fù)擺下部貼一白色小紙片作為跟蹤標記，拍下復(fù)擺在平面內(nèi)小角度擺動過程，直至將所有不同小孔懸掛時的擺動過程拍攝完畢.

3)選定并追蹤復(fù)擺的振動軌跡

進入Tracker的主界面打開拍攝的視頻后，選取合適的片段進行追蹤，創(chuàng)建1個質(zhì)點后，長按“Ctrl+Shift”鍵，同時用鼠標左鍵點擊紙片，并選擇需要追蹤的紙片的模板，選擇自動追蹤并按下搜索鍵，得到復(fù)擺運動的軌跡點，如圖2所示.

圖2 Tracker主界面及質(zhì)點追蹤過程

4)數(shù)據(jù)處理

將鼠標移至右上方的位移-時間關(guān)系曲線，點擊“分析”按鈕，即可彈出數(shù)據(jù)處理的窗口，點擊“擬合”，便會根據(jù)物體運動過程的圖像描繪出擬合曲線，并在下方給出擬合曲線方程的相關(guān)數(shù)據(jù). 為使圖像的擬合更加準確，根據(jù)阻尼振動公式，可將公式編輯為[2]

x=A*exp (-B*t)*sin (C*t+D)，

并根據(jù)擬合方程的數(shù)值得到復(fù)擺的振動周期，如圖3所示.

圖3 位移-時間擬合圖像

按照上述方法可求出復(fù)擺的第1個孔懸掛于鐵架臺時的振動周期為T=1.268 s，同理根據(jù)此方法可依次求得復(fù)擺上的其他小孔懸掛于鐵架臺時的振動周期. 將復(fù)擺每個懸掛點對應(yīng)的周期及質(zhì)點到懸掛點間的距離的數(shù)據(jù)整理到表1中.

表1 復(fù)擺實驗的相關(guān)數(shù)據(jù)

5)計算重力加速度

a.等效擺長法

圖4 等效擺長取值示意圖

取用Matlab軟件所繪制出的T-h關(guān)系曲線中同一振動周期的對應(yīng)的2個h值，如圖4所示. 從圖4可以看出， 當懸掛點逐漸遠離復(fù)擺質(zhì)心的過程中，其振動周期先逐漸變小，達到最小值后，又逐漸增大. 圖4中根據(jù)所測得的實驗數(shù)據(jù)繪制出的T-h圖像與文獻[3]中的相一致.

T=1.247 s時對應(yīng)的h值分別為13.36 cm和25.31 cm，得出等效擺長L=38.67 cm，求得重力加速度為g=9.817 m/s2. 由于該實驗是在廣州地區(qū)進行，通過查閱資料可知，廣州地區(qū)的重力加速度值為g=9.788 m/s2. 計算得到實驗值與公認值的相對偏差為0.3%.

b.直線擬合法

根據(jù)式(6)，選取中間部分數(shù)據(jù)點，作出T2h-h2的關(guān)系圖像并進行擬合，其中T2h和h2的數(shù)據(jù)如表2所示. 根據(jù)表2畫出T2h-h2關(guān)系圖，如圖5所示. 經(jīng)擬合得：斜率k=4.017，截距b=0.137 1，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 8，故g=9.827 m/s2,相對偏差為0.4%.

表2 T2h和h2的相關(guān)數(shù)據(jù)

圖5 T2h-h2關(guān)系圖

4 結(jié)束語

用復(fù)擺法測量重力加速度的實驗中，關(guān)鍵在于測量復(fù)擺的振動周期. 通過上述實驗可以看到，用拍攝實驗視頻的方法，輔以Tracker軟件的軌跡追蹤和數(shù)據(jù)分析，使本實驗相對于傳統(tǒng)的復(fù)擺實驗來說，簡化了實驗儀器的同時，還使得操作簡潔高效. 實驗者可以利用身邊有攝像功能的手機或相機進行拍攝，并用電腦軟件進行分析，有利于提高實驗者的興趣.

參考文獻：

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