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(石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

圖1 均布荷載作用下帶裂縫簡(jiǎn)支梁

由Dugdale[1]提出的模型可應(yīng)用于理想彈塑性斷裂[2-4]，但并不適用于混凝土類拉應(yīng)變軟化材料。根據(jù)混凝土的變形特點(diǎn)，Hillerborg[5]于1976年提出了“虛裂紋模型”(簡(jiǎn)稱FCM)；Bazant[6]于1983年提出了“鈍裂紋帶模型”(簡(jiǎn)稱BCBM)。FCM、BCBM等模型雖然較好地反應(yīng)了混凝土等軟化材料在斷裂過程區(qū)的應(yīng)力和變形特點(diǎn)，但不能從數(shù)學(xué)上對(duì)過程區(qū)應(yīng)力分布進(jìn)行解析求解。20世紀(jì)八十年代，段樹金等提出了有限應(yīng)力集中的概念，采用加權(quán)積分法和奇異曲面疊加法得出了過程區(qū)應(yīng)力場(chǎng)解析解，該模型在國(guó)際上被稱為“Duan and Nakagawa’s Model”[7-10]。郭全民等[11]用函數(shù)疊加法得出了含斷裂過程區(qū)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的應(yīng)力函數(shù)全場(chǎng)解析解并通過仿真驗(yàn)證了解的可靠性，但所取函數(shù)數(shù)量不足導(dǎo)致裂紋面上呈現(xiàn)了較大應(yīng)力。本文基于“Duan and Nakagawa”模型和文獻(xiàn)[11]；疊加多種不同荷載作用、不同裂紋長(zhǎng)度下無限大板的彈性解答，得到含斷裂過程區(qū)的簡(jiǎn)支梁的更高精度的解析函數(shù)；研究不同斷裂過程區(qū)內(nèi)聚力分布對(duì)拉應(yīng)變軟化曲線和梁自振頻率的影響。

1 基本問題與基本方程

1.1 研究對(duì)象

研究對(duì)象為含切口和斷裂過程區(qū)的簡(jiǎn)支梁，如圖1所示，其中，a+b為韌帶長(zhǎng)度，b為斷裂過程區(qū)長(zhǎng)度。

1.2 基本方程

引用復(fù)變函數(shù)，彈性力學(xué)平面問題應(yīng)力函數(shù)的一般形式可表示為

(1)

(2)

(3)

式中，G為剪切彈性模量；對(duì)于平面應(yīng)變問題k=3-4v，對(duì)于平面應(yīng)力問題k=(3-v)/(1+v),v為泊松比。

(1)彎矩作用下對(duì)稱邊裂紋的無限大板。如圖2所示，為一對(duì)稱邊裂紋的無限大板受彎曲作用，采用加權(quán)積分法，取一次型權(quán)函數(shù)，通過加權(quán)積分法消除裂紋尖端應(yīng)力奇異性，彈性解答如下[5]

(4)

圖2 彎矩作用下無限大板

(2)均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁?？紤]一均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁，其中h為梁高，l為梁長(zhǎng)，q為梁上均布荷載。直接給出相應(yīng)的應(yīng)力分量

(5)

(3)切應(yīng)力作用下的半無限大板。如圖3所示，為一半無限大板，其自由表面作用著對(duì)稱于y軸的剪應(yīng)力，用于消除前述第(1)項(xiàng)中沿x軸產(chǎn)生的剪應(yīng)力。其相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)為

(6)

(4)拉應(yīng)力作用下的無限大板。考慮一帶對(duì)稱邊裂紋的無限大板，在無窮遠(yuǎn)處受拉應(yīng)力作用，如圖4所示。其應(yīng)力函數(shù)為

(7)

圖3 受切應(yīng)力作用的半無限大板

圖4 受拉力作用的開裂板

2 不同內(nèi)聚力分布下問題的求解

研究的裂縫模型滿足以下條件：

(1)梁的有效高度為韌帶長(zhǎng)度和斷裂過程區(qū)長(zhǎng)度之和a+b。

(2)裂縫尖端y=a處正應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度ft，即∑σ=ft時(shí)，裂縫向前擴(kuò)展，并始終沿y軸方向。

(3)梁截面有效高度范圍內(nèi)應(yīng)力合力為零，即∑T1j=0。

(4)梁端彎矩和正應(yīng)力合力為零，即∑T2j=0，∑Mj=0；梁底一半的正應(yīng)力和切應(yīng)力的合力為零，即∑T3j=0，∑Qj=0。

設(shè)帶裂縫無限大板受彎矩作用時(shí)荷載大小為X1，均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁受力大小為X2，半無限大板受切應(yīng)力作用大小為X3，半無限大板受水平集中力作用大小為X4，韌帶寬度a不變，改變受彎矩作用帶裂縫無限大板的斷裂過程區(qū)長(zhǎng)度b，對(duì)應(yīng)荷載大小為X5，X6，X7，改變均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁梁底位置，對(duì)應(yīng)荷載大小為X8，X9。通過疊加幾種無限大板和半無限大板的彈性解答，計(jì)算各種模型權(quán)重。

2.1 水壓力型分布

定義斷裂過程區(qū)[a,a+b]處應(yīng)力分布呈水壓力分布，現(xiàn)指定

基于上述條件，可以得到以下平衡方程

(8)

從中可以求得[Xi]=[-3.598 3 -0.007 9 -0.329 9 3.431 2 0.000 9 -5.664 3 10.642 0

-0.107 0 0.175 9]。

2.2 恒定型分布

定義斷裂過程區(qū)[a,a+b]的應(yīng)力為常數(shù)，現(xiàn)域內(nèi)以等距離取3個(gè)點(diǎn)，其應(yīng)力值等于ft，由此可以得到以下平衡方程

(9)

從中可以求得[Xi]=[-8.448 0 0.048 9 -1.937 6 12.127 0 0.002 1 -2.636 0 12.175 7 -0.214 0 0.197 2]。

2.3 一次權(quán)函數(shù)型

斷裂過程區(qū)不設(shè)約束條件，基于上述邊界條件，其相應(yīng)的平衡方程可以表示為

(10)

由矩陣可以得到[Xi]=[2.402 4 0.010 7 -1.688 7 8.157 1 0.000 9 0.750 2 -1.895 5]。上述方程中的Xi為各基本應(yīng)力函數(shù)在解中的權(quán)重，通過疊加即可以得到圖1所示問題的應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)。

3 算例

一混凝土簡(jiǎn)支梁，高度H=8 cm，寬度B=7.5 cm，長(zhǎng)度L=30 cm，裂縫長(zhǎng)度1 cm，混凝土抗拉強(qiáng)度ft=5.6 MPa，泊松比v=0.2，彈性模量E=28 GPa。

由應(yīng)力函數(shù)得出沿y軸的正應(yīng)力分布及斷裂過程區(qū)的拉應(yīng)變軟化曲線，分別如圖5和圖6所示。從圖5可以看出，裂紋尖端應(yīng)力奇異性被消除；應(yīng)力最大值出現(xiàn)在斷裂過程區(qū)尖端；滿足正應(yīng)力合力為零的條件；裂紋面上正應(yīng)力不等于零，但波動(dòng)幅度不大。從圖6看出，一次權(quán)函數(shù)型與內(nèi)聚力水壓力型的拉應(yīng)變軟化曲線相似；內(nèi)聚力恒定型的最大張開位移遠(yuǎn)小于一次權(quán)函數(shù)型和內(nèi)聚力水壓力型。梁的自振頻率和斷裂能如表1所示，帶裂縫簡(jiǎn)支梁自振頻率低于無裂縫簡(jiǎn)支梁，恒定型自振頻率高于水壓力型與一次權(quán)函數(shù)型。

圖5 沿?cái)嗔秧g帶正應(yīng)力分布

圖6 拉應(yīng)變軟化曲線

考察了梁頂和梁底面切應(yīng)力的分布，其值不完全為零，切應(yīng)力最大值與抗拉強(qiáng)度比值分別為4.8%和7.3%。

表1 簡(jiǎn)支梁的自振頻率和斷裂能

4 結(jié)論

研究了含切口和斷裂過程區(qū)簡(jiǎn)支梁的解析，給出了算例，結(jié)論如下：

(1)采用函數(shù)疊加和選點(diǎn)法得到了帶裂縫和斷裂過程區(qū)簡(jiǎn)支梁在均布荷載下的全場(chǎng)解析解，基本滿足應(yīng)力邊界條件；隨著選點(diǎn)數(shù)量的增加，可以進(jìn)一步提高計(jì)算精度。

(2)內(nèi)聚力呈水壓力型分布與一次權(quán)函數(shù)下拉應(yīng)變軟化曲線有相似的變化趨勢(shì)；內(nèi)聚力恒定型斷裂能最大，水壓力型與權(quán)函數(shù)型斷裂能較小且數(shù)值相近。

(3)無裂縫簡(jiǎn)支梁自振頻率最高，內(nèi)聚力恒定型次之，水壓力型和一次權(quán)函數(shù)型時(shí)最低。

參 考 文 獻(xiàn)

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