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(1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 天津 300401；2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

0 引言

可積系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)代非線性科學(xué)的重要研究方向。Lax對(duì)非線性化方法將無窮維可積系統(tǒng)約束為有限維可積系統(tǒng)，并被廣泛用于求解非線性發(fā)展方程[1]。首先研究一個(gè)新的二階特征值問題并得到其相對(duì)應(yīng)的發(fā)展方程族，其次利用Lax對(duì)非線性化方法獲得有限維Hamilton系統(tǒng)，并證明此系統(tǒng)在Liouville意義下的完全可積，最后求解出相應(yīng)的發(fā)展方程族在有限維空間上解的對(duì)合表示。

1 譜問題與發(fā)展方程族的Lax表示

討論二階線性譜問題

Lφ=φxx+λ3uφ+λ2vφ+λwφ=αφx

(1)

式中，u=u(x,t),v=v(x,t),w=w(x,t)為位勢(shì)函數(shù)；α為常數(shù)；特征參數(shù)λ∈R；φ=φ(x,t)為特征函數(shù)。

在基礎(chǔ)空間Ω=(-∞,+∞)上討論譜問題(1)，假設(shè)位勢(shì)函數(shù)u,v,w及其關(guān)于x的各階導(dǎo)數(shù)為無窮遠(yuǎn)速降函數(shù)。

命題1下列二階譜問題構(gòu)成完整譜系[2]

(2)

設(shè)譜問題(1)的輔譜問題為φtm=wmφ，其中

(3)

令，gj=(bj,bj+1,bj+2)T，j=-1,0,1,…,m,則由相容性條件φxxt=φtxx，得出如下遞推關(guān)系：Kgj=Jgj+1,j=-1,0,1,2,…,其中

定理1在等譜條件下，非線性發(fā)展方程族為

(4)

對(duì)應(yīng)的Lax對(duì)為

(5)

2 Bargmann系統(tǒng)與Hamilton正則系統(tǒng)

設(shè)譜系(2)的N個(gè)不同的特征值λ1<λ2<…<λN,Φj,Ψj為對(duì)應(yīng)于λj(j=1,2,…,N)的特征函數(shù)，令Λ=diag(λ1,λ2,…,λN),Φ=(Φ1,Φ2,…,ΦN)T,Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,ΨN)T。

作Bargmann約束,令g1=(〈ΛΦ,Ψ〉,〈Λ2Φ,Ψ〉,〈Λ3Φ,Ψ〉)得

u=〈ΛΦ,Ψ〉-2,v=-2〈Λ2Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉3,w=3〈Λ2Φ,Ψ〉2〈ΛΦ,Ψ〉-4-2〈Λ3Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉-3。

由此譜系(2)等價(jià)如下的Bargmann系統(tǒng)

構(gòu)造Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)如下

(7)

在此坐標(biāo)系下，Bargmann約束化為

(8)

由此Bargmann系統(tǒng)(6)等價(jià)于如下Hamilton正則系統(tǒng)

(9)

此時(shí)

(10)

3 Hamilton系統(tǒng)的完全可積性

在Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)(7)和Bargmann約束(8)下, 應(yīng)用非線性化方法[2-3]，發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)可表示為矩陣形式

(11)

其中

(12)

定理3在Bargmann約束條件(8)下，發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)等價(jià)于如下Hamilton正則方程[5]

(13)

其中Hamilton函數(shù)h為式(10)，hm為

hm= 〈Λy1,z2〉-2〈Λ2y1,z2〉〈Λm+2y1,z2〉+〈Λy1,z2〉-2〈Λ3y1,z2〉〈Λm+1y1,z2〉-

〈Λy1,z2〉-1〈Λm+3y1,z2〉-〈Λy1,z2〉-3〈Λ2y1,z2〉2〈Λm+1y1,z2〉+

令

定理4:

(1)

(14)

由Arnold定理，Hamilton系統(tǒng)(13)是完全可積系，且Hamilton相流可換。

定理6設(shè)(y1,y2,z1,z2)滿足Hamilton系統(tǒng)(13)，則式(8)為非線性發(fā)展方程族(4)的對(duì)合解。

4 結(jié)論

對(duì)所給定的二階譜問題，由相容性條件得到了一個(gè)耦合Harry-Dym型發(fā)展方程族，通過Bargmann約束條件，最終獲得一個(gè)新的Liouville意義下的完全可積Hamilton正則系統(tǒng)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]谷超豪，曹策問，李翊神,等．孤立子理論與應(yīng)用[M]．杭州：浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990．

[2]Gu Zhuquan. The Neumann system for the 3rd-order eigenvalue problem related to the Boussinesq equation[J]. IL Nuovo Cimento, 2002,117(6):615-631.

[3]曹策問，耿獻(xiàn)國. Bargmann系統(tǒng)與耦合Harry-Dym方程解的對(duì)合表示[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1992, 35(3):314-322.

[4]劉亞峰，劉煒.一類新的2+1維非線性發(fā)展方程及其解的對(duì)合表示[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2014, 27(1):107-110.

[5]Gu Zhuquan，Zhang Junxian，Liu Wei. Two new completely integrable systems related to the Kdv equation hierarchy[J].IL NUOVO CIMENTO,2008,123(5):605-622.