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(1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300401;2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,河北 石家莊 050043)
可積系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)代非線性科學(xué)的重要研究方向。Lax對(duì)非線性化方法將無窮維可積系統(tǒng)約束為有限維可積系統(tǒng),并被廣泛用于求解非線性發(fā)展方程[1]。首先研究一個(gè)新的二階特征值問題并得到其相對(duì)應(yīng)的發(fā)展方程族,其次利用Lax對(duì)非線性化方法獲得有限維Hamilton系統(tǒng),并證明此系統(tǒng)在Liouville意義下的完全可積,最后求解出相應(yīng)的發(fā)展方程族在有限維空間上解的對(duì)合表示。
討論二階線性譜問題
Lφ=φxx+λ3uφ+λ2vφ+λwφ=αφx
(1)
式中,u=u(x,t),v=v(x,t),w=w(x,t)為位勢(shì)函數(shù);α為常數(shù);特征參數(shù)λ∈R;φ=φ(x,t)為特征函數(shù)。
在基礎(chǔ)空間Ω=(-∞,+∞)上討論譜問題(1),假設(shè)位勢(shì)函數(shù)u,v,w及其關(guān)于x的各階導(dǎo)數(shù)為無窮遠(yuǎn)速降函數(shù)。
命題1下列二階譜問題構(gòu)成完整譜系[2]
(2)
設(shè)譜問題(1)的輔譜問題為φtm=wmφ,其中
(3)
令,gj=(bj,bj+1,bj+2)T,j=-1,0,1,…,m,則由相容性條件φxxt=φtxx,得出如下遞推關(guān)系:Kgj=Jgj+1,j=-1,0,1,2,…,其中
定理1在等譜條件下,非線性發(fā)展方程族為
(4)
對(duì)應(yīng)的Lax對(duì)為
(5)
設(shè)譜系(2)的N個(gè)不同的特征值λ1<λ2<…<λN,Φj,Ψj為對(duì)應(yīng)于λj(j=1,2,…,N)的特征函數(shù),令Λ=diag(λ1,λ2,…,λN),Φ=(Φ1,Φ2,…,ΦN)T,Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,ΨN)T。
作Bargmann約束,令g1=(〈ΛΦ,Ψ〉,〈Λ2Φ,Ψ〉,〈Λ3Φ,Ψ〉)得
u=〈ΛΦ,Ψ〉-2,v=-2〈Λ2Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉3,w=3〈Λ2Φ,Ψ〉2〈ΛΦ,Ψ〉-4-2〈Λ3Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉-3。
由此譜系(2)等價(jià)如下的Bargmann系統(tǒng)
構(gòu)造Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)如下
(7)
在此坐標(biāo)系下,Bargmann約束化為
(8)
由此Bargmann系統(tǒng)(6)等價(jià)于如下Hamilton正則系統(tǒng)
(9)
此時(shí)
(10)
在Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)(7)和Bargmann約束(8)下, 應(yīng)用非線性化方法[2-3],發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)可表示為矩陣形式
(11)
其中
(12)
定理3在Bargmann約束條件(8)下,發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)等價(jià)于如下Hamilton正則方程[5]
(13)
其中Hamilton函數(shù)h為式(10),hm為
hm= 〈Λy1,z2〉-2〈Λ2y1,z2〉〈Λm+2y1,z2〉+〈Λy1,z2〉-2〈Λ3y1,z2〉〈Λm+1y1,z2〉-
〈Λy1,z2〉-1〈Λm+3y1,z2〉-〈Λy1,z2〉-3〈Λ2y1,z2〉2〈Λm+1y1,z2〉+
令
定理4:
(1)
(14)
由Arnold定理,Hamilton系統(tǒng)(13)是完全可積系,且Hamilton相流可換。
定理6設(shè)(y1,y2,z1,z2)滿足Hamilton系統(tǒng)(13),則式(8)為非線性發(fā)展方程族(4)的對(duì)合解。
對(duì)所給定的二階譜問題,由相容性條件得到了一個(gè)耦合Harry-Dym型發(fā)展方程族,通過Bargmann約束條件,最終獲得一個(gè)新的Liouville意義下的完全可積Hamilton正則系統(tǒng)。
參 考 文 獻(xiàn)
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