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        一個(gè)與耦合Harry-Dym型方程相關(guān)的譜問題及其可積性

        2018-06-28 05:48:06
        關(guān)鍵詞:譜系正則二階

        (1.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300401;2.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,河北 石家莊 050043)

        0 引言

        可積系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)代非線性科學(xué)的重要研究方向。Lax對(duì)非線性化方法將無窮維可積系統(tǒng)約束為有限維可積系統(tǒng),并被廣泛用于求解非線性發(fā)展方程[1]。首先研究一個(gè)新的二階特征值問題并得到其相對(duì)應(yīng)的發(fā)展方程族,其次利用Lax對(duì)非線性化方法獲得有限維Hamilton系統(tǒng),并證明此系統(tǒng)在Liouville意義下的完全可積,最后求解出相應(yīng)的發(fā)展方程族在有限維空間上解的對(duì)合表示。

        1 譜問題與發(fā)展方程族的Lax表示

        討論二階線性譜問題

        Lφ=φxx+λ3uφ+λ2vφ+λwφ=αφx

        (1)

        式中,u=u(x,t),v=v(x,t),w=w(x,t)為位勢(shì)函數(shù);α為常數(shù);特征參數(shù)λ∈R;φ=φ(x,t)為特征函數(shù)。

        在基礎(chǔ)空間Ω=(-∞,+∞)上討論譜問題(1),假設(shè)位勢(shì)函數(shù)u,v,w及其關(guān)于x的各階導(dǎo)數(shù)為無窮遠(yuǎn)速降函數(shù)。

        命題1下列二階譜問題構(gòu)成完整譜系[2]

        (2)

        設(shè)譜問題(1)的輔譜問題為φtm=wmφ,其中

        (3)

        令,gj=(bj,bj+1,bj+2)T,j=-1,0,1,…,m,則由相容性條件φxxt=φtxx,得出如下遞推關(guān)系:Kgj=Jgj+1,j=-1,0,1,2,…,其中

        定理1在等譜條件下,非線性發(fā)展方程族為

        (4)

        對(duì)應(yīng)的Lax對(duì)為

        (5)

        2 Bargmann系統(tǒng)與Hamilton正則系統(tǒng)

        設(shè)譜系(2)的N個(gè)不同的特征值λ1<λ2<…<λN,Φj,Ψj為對(duì)應(yīng)于λj(j=1,2,…,N)的特征函數(shù),令Λ=diag(λ1,λ2,…,λN),Φ=(Φ1,Φ2,…,ΦN)T,Ψ=(Ψ1,Ψ2,…,ΨN)T。

        作Bargmann約束,令g1=(〈ΛΦ,Ψ〉,〈Λ2Φ,Ψ〉,〈Λ3Φ,Ψ〉)得

        u=〈ΛΦ,Ψ〉-2,v=-2〈Λ2Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉3,w=3〈Λ2Φ,Ψ〉2〈ΛΦ,Ψ〉-4-2〈Λ3Φ,Ψ〉〈ΛΦ,Ψ〉-3。

        由此譜系(2)等價(jià)如下的Bargmann系統(tǒng)

        構(gòu)造Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)如下

        (7)

        在此坐標(biāo)系下,Bargmann約束化為

        (8)

        由此Bargmann系統(tǒng)(6)等價(jià)于如下Hamilton正則系統(tǒng)

        (9)

        此時(shí)

        (10)

        3 Hamilton系統(tǒng)的完全可積性

        在Jacobi-Ostrogradsky坐標(biāo)(7)和Bargmann約束(8)下, 應(yīng)用非線性化方法[2-3],發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)可表示為矩陣形式

        (11)

        其中

        (12)

        定理3在Bargmann約束條件(8)下,發(fā)展方程族的Lax對(duì)(5)等價(jià)于如下Hamilton正則方程[5]

        (13)

        其中Hamilton函數(shù)h為式(10),hm為

        hm= 〈Λy1,z2〉-2〈Λ2y1,z2〉〈Λm+2y1,z2〉+〈Λy1,z2〉-2〈Λ3y1,z2〉〈Λm+1y1,z2〉-

        〈Λy1,z2〉-1〈Λm+3y1,z2〉-〈Λy1,z2〉-3〈Λ2y1,z2〉2〈Λm+1y1,z2〉+

        定理4:

        (1)

        (14)

        由Arnold定理,Hamilton系統(tǒng)(13)是完全可積系,且Hamilton相流可換。

        定理6設(shè)(y1,y2,z1,z2)滿足Hamilton系統(tǒng)(13),則式(8)為非線性發(fā)展方程族(4)的對(duì)合解。

        4 結(jié)論

        對(duì)所給定的二階譜問題,由相容性條件得到了一個(gè)耦合Harry-Dym型發(fā)展方程族,通過Bargmann約束條件,最終獲得一個(gè)新的Liouville意義下的完全可積Hamilton正則系統(tǒng)。

        參 考 文 獻(xiàn)

        [1]谷超豪,曹策問,李翊神,等.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

        [2]Gu Zhuquan. The Neumann system for the 3rd-order eigenvalue problem related to the Boussinesq equation[J]. IL Nuovo Cimento, 2002,117(6):615-631.

        [3]曹策問,耿獻(xiàn)國. Bargmann系統(tǒng)與耦合Harry-Dym方程解的對(duì)合表示[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1992, 35(3):314-322.

        [4]劉亞峰,劉煒.一類新的2+1維非線性發(fā)展方程及其解的對(duì)合表示[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2014, 27(1):107-110.

        [5]Gu Zhuquan,Zhang Junxian,Liu Wei. Two new completely integrable systems related to the Kdv equation hierarchy[J].IL NUOVO CIMENTO,2008,123(5):605-622.

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