秦愛東

[摘 要] 《法國義務(wù)數(shù)學(xué)課標(biāo)》提出的信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計(jì)算與交流等六個(gè)基本能力與我國的要求一致. 筆者認(rèn)為，結(jié)合具體實(shí)例研究能力培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教師的基本任務(wù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視表征能力的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；基本能力；能力培養(yǎng)

近日，有專家比較研究了《法國義務(wù)數(shù)學(xué)課標(biāo)》（以下簡稱《法標(biāo)》），得出的重要結(jié)論之一，就是該課標(biāo)最有特色的是提出了六個(gè)能力目標(biāo)，這六個(gè)目標(biāo)分別是：信息的收集整理與探究、建模、表征、推理、計(jì)算與交流. 將這六個(gè)目標(biāo)與我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，探究、建模、推理、計(jì)算、交流等，與我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求基本上是相同的，而信息的收集整理在我國的數(shù)學(xué)建模中也是一個(gè)前置性的任務(wù)，差異較大的是“表征”這一概念. 而這也引起了筆者的興趣，同時(shí)基于他國的課程標(biāo)準(zhǔn)理解，也可以給我們的教學(xué)帶來新的啟發(fā)，從而促進(jìn)自身對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，基于這樣的思路，筆者進(jìn)行以下幾點(diǎn)綜合闡述.

數(shù)學(xué)視角下的信息收集整理

與探究

法標(biāo)中對(duì)信息的收集整理與探究的目標(biāo)描述包括這樣的幾個(gè)方面：一是能夠從文件（筆者以為這個(gè)概念可以擴(kuò)展，起碼未必是指文本式的文件）中提取有用的信息；能夠參與科學(xué)活動(dòng)，并通過觀察、質(zhì)疑、操作和試驗(yàn)，以提出假設(shè)并進(jìn)行證明；能夠?qū)⑶榫澈喕蛱卣骰撤N程度上講就應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)化）；能夠?qū)⒋髥栴}細(xì)化成小問題，然后探究不同的簡化方案. 這些描述都是基于信息這一核心概念而進(jìn)行的，法標(biāo)重視信息應(yīng)當(dāng)說是可以理解的，尤其是在與我國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)進(jìn)行比較之后可以發(fā)現(xiàn)，我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)在很長的一段時(shí)間里，都是就數(shù)學(xué)而教，卻忽視了數(shù)學(xué)與生活尤其是與學(xué)生生活的聯(lián)系，而這種純粹的邏輯推理的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生失卻了對(duì)信息最基本的敏感，也使得數(shù)學(xué)無法真正應(yīng)用于生活.

當(dāng)然，今天的初中數(shù)學(xué)已經(jīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)信息的感知、收集與加工，也因而我們應(yīng)當(dāng)看到，面對(duì)信息尤其是信息中數(shù)學(xué)因素的提取，應(yīng)當(dāng)成為當(dāng)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要取向.

例如，在“軸對(duì)稱”的教學(xué)中，在建立軸對(duì)稱概念之前，筆者嘗試呈現(xiàn)一組關(guān)于建筑的主題圖片，從天安門城樓到故宮博物院，從人民大會(huì)堂到英國的白金漢宮，從埃菲爾鐵塔到凱旋門. 在呈現(xiàn)這些素材的時(shí)候，筆者盡量不提供任何指引性的語言，而是讓學(xué)生去直接感知. 而為了讓學(xué)生的思維向軸對(duì)稱聚焦，筆者還借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，將這些彩色圖片進(jìn)行黑白化處理，然后進(jìn)行虛化直到呈現(xiàn)建筑的輪廓，在這樣的圖片演化過程中，學(xué)生能夠明顯感覺到所有的建筑物都具有一個(gè)共同特征，那就是“左右是相同的”（這是學(xué)生初步描述的語言），而一旦學(xué)生意識(shí)到這一點(diǎn)，那建立軸對(duì)稱概念并探究其性質(zhì)，就有了堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ).

再如，在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱之后，可以讓學(xué)生去舉出身邊對(duì)稱建筑物的例子，這樣學(xué)生的思維所加工的對(duì)象，就是身邊的事物，學(xué)生所運(yùn)用的思維就是帶著軸對(duì)稱知識(shí)對(duì)身邊的事物進(jìn)行判斷的思維. 這個(gè)過程中還可以讓學(xué)生對(duì)一些對(duì)象進(jìn)行精細(xì)研究，比如說一張桌子或一本書，看可以找出多少條對(duì)稱軸等. 這種從生活事物中獲取信息并從中提取所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，就是一個(gè)信息收集整理加工的過程，其可以促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，進(jìn)而形成卓有成效的數(shù)學(xué)視角與數(shù)學(xué)能力. 有意思的是，在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，還有學(xué)生別出心裁地去研究漢字的結(jié)構(gòu)，然后找出了一些近似軸對(duì)稱的漢字，筆者以為這也是一種很好的軸對(duì)稱知識(shí)運(yùn)用的意識(shí).

這樣來看法標(biāo)中的信息收集整理與探究，可以發(fā)現(xiàn)這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一種重要展現(xiàn). 其與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中所提出的數(shù)學(xué)抽象其實(shí)也是密切相關(guān)的，因?yàn)橐粋€(gè)信息是否能夠納入學(xué)生的數(shù)學(xué)視角，學(xué)生又能否從紛繁的信息中進(jìn)行有效整理與探究，本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程. 故而從這個(gè)角度來看，培養(yǎng)學(xué)生信息收集整理與探究的能力，與核心素養(yǎng)是一脈相承的.

數(shù)學(xué)建模及其相關(guān)的其他能

力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須形成的一個(gè)基本能力，盡管在《法標(biāo)》中數(shù)學(xué)建模與其他相關(guān)的能力是分開討論的，但筆者以為數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是一個(gè)相對(duì)綜合的過程，邏輯推理、計(jì)算和交流等能力往往都存在其中. 所以說從綜合能力培養(yǎng)的角度來思考數(shù)學(xué)建模及其他能力的培養(yǎng)，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說也是可行的.

《法標(biāo)》在闡述建模能力的學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí)是這樣確立的：能判斷成比例的問題情境，并能夠解決相應(yīng)的問題；能把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言表述（這實(shí)際上也與數(shù)學(xué)抽象有關(guān)）；理解并能夠運(yùn)用數(shù)或幾何來模擬實(shí)際情況（這實(shí)際上是數(shù)學(xué)運(yùn)用）；能判斷一個(gè)數(shù)學(xué)模型是否正確（這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較缺失的）等. 仔細(xì)研究這些表述，可以發(fā)現(xiàn)這其中有一個(gè)明確的思路，那就是《法標(biāo)》中的數(shù)學(xué)建模是特別強(qiáng)調(diào)與實(shí)際問題進(jìn)行聯(lián)系的，而這也是我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)被忽視的地方，我們?cè)趶?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，更多的是希望其能夠?yàn)榻鉀Q一些習(xí)題提供幫助，而不是為了在學(xué)生的思維中建立一個(gè)豐滿、立體的數(shù)學(xué)形象.

在蘇教版八年級(jí)上冊(cè)的“整式的乘法”中有這樣一個(gè)引入性的問題：一種電子計(jì)算機(jī)每秒可以進(jìn)行一千萬億（1015）次運(yùn)算，那它工作103秒可以進(jìn)行多少次運(yùn)算？實(shí)際教學(xué)中，這個(gè)問題的解決所得到的表達(dá)式是am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)），這里，這個(gè)表達(dá)式就可以視作一個(gè)數(shù)學(xué)模型，一個(gè)用于解決同底數(shù)冪的乘法的模型. 這個(gè)模型的形成過程，通常是通過數(shù)學(xué)探究來實(shí)現(xiàn)的. 教材上給出的探究過程實(shí)際上是一個(gè)不完全歸納法的運(yùn)用：25×22=2（ ）；a3×a2=a（ ）；5m×5n=5（ ）（m，n都是正整數(shù)）. 雖然這里只有三個(gè)式子，但卻各具挖根生，第一個(gè)式子是純粹的數(shù)字表達(dá)，適合學(xué)生的思維特點(diǎn)；第二個(gè)式子的底數(shù)是字母表達(dá)；第三個(gè)式子的冪是字母表達(dá). 學(xué)生經(jīng)由這三步的演算，思維就逐步向最終的同底數(shù)冪表達(dá)式靠近，實(shí)際上也就完成了一個(gè)邏輯推理的過程，進(jìn)而也就培養(yǎng)了邏輯推理的能力. 這其中自然也涉及了計(jì)算，于是計(jì)算能力的培養(yǎng)是自然而然的. 至于交流能力的培養(yǎng)，更多的是在具體的學(xué)習(xí)過程中形成，這與教師組織學(xué)習(xí)的方式有關(guān). 當(dāng)前我國課程標(biāo)準(zhǔn)中所強(qiáng)調(diào)的小組合作學(xué)習(xí)已經(jīng)成為主流學(xué)習(xí)的方式之一，其對(duì)學(xué)生交流合作能力的培養(yǎng)非常有用.

其實(shí)這個(gè)教學(xué)過程中還是有潛力可挖的，比如說在最初解決計(jì)算機(jī)那個(gè)問題的時(shí)候，可以放大一下學(xué)生數(shù)指數(shù)上0的個(gè)數(shù)的過程，如果不出意外，學(xué)生會(huì)感覺到0的個(gè)數(shù)太多，數(shù)起來太累. 這個(gè)時(shí)候教師可以“霸道”一點(diǎn)，堅(jiān)持讓學(xué)生迅速地?cái)?shù)且要數(shù)對(duì)，這樣做的主要目的，就是讓學(xué)生感覺到憤或悱，以為后面同底數(shù)冪的乘法公式這一模型的出現(xiàn)奠定啟發(fā)式的心理基礎(chǔ). 這樣學(xué)生會(huì)對(duì)所得到的數(shù)學(xué)模型印象深刻，從而也就提升了模型運(yùn)用的能力. 又如推理能力與數(shù)學(xué)建模關(guān)系的確定，也可以為兩個(gè)能力的培養(yǎng)尋找新的契機(jī)，前者既存在于數(shù)學(xué)模型的建立過程中，又存在于數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用過程中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型建立與運(yùn)用過程中的推理，對(duì)于邏輯推理能力乃至于直覺（合情）推理能力都有好處.

初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表征能力

的培養(yǎng)

關(guān)于表征能力的培養(yǎng)，在我國數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視域里，表征這個(gè)概念并不多見，即使有也通常是作為描述其他數(shù)學(xué)教學(xué)理念的輔助性概念，因此其在《法標(biāo)》中出現(xiàn)，確實(shí)引發(fā)了筆者很大的興趣.

表征本是一個(gè)心理學(xué)的概念，其指對(duì)客觀事物的反映. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表征，主要是指利用數(shù)學(xué)概念或規(guī)律去準(zhǔn)確地描述一個(gè)事物，于是數(shù)學(xué)表征能力也就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的能力，這個(gè)能力是由學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的理解來支撐的. 《法標(biāo)》中對(duì)表征能力的目標(biāo)描述是：能夠選擇合適的內(nèi)容模塊來闡述一個(gè)問題或?qū)W習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)（其余的在此不贅述）. 這樣的表述與我們的理解一致，也需要在今年的數(shù)學(xué)教學(xué)中加以強(qiáng)調(diào).

表征實(shí)際上是一個(gè)復(fù)雜的過程，不同學(xué)生的個(gè)體，由于擅長的思維方式不同，因而即使學(xué)習(xí)同一個(gè)知識(shí)，其所采用的表征方式有可能不同，這也是造成學(xué)習(xí)結(jié)果差異的重要原因（有的教師抱怨“我一樣上課的，不知道為什么有些學(xué)生就是學(xué)不會(huì)”，這個(gè)抱怨的答案可能就與數(shù)學(xué)知識(shí)的表征相關(guān)）. 比如說上面所舉的軸對(duì)稱的例子，有的學(xué)生習(xí)慣于形象思維，因此他大腦中可能留存的就只是對(duì)稱圖形的表象，而沒有利用對(duì)稱軸等構(gòu)建出來的數(shù)學(xué)概念，因此這類學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形敏感，而對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用存在困難，因而這類學(xué)生在試卷上出錯(cuò)的往往也就是對(duì)數(shù)學(xué)語言運(yùn)用要求較高的題目.

通過這個(gè)例子可以看出，表征能力的培養(yǎng)確實(shí)是比較重要的，某種程度上講，其是當(dāng)前提高教學(xué)效益最有價(jià)值的切入口.