朱秀娟

[摘 要] 結(jié)合尺規(guī)作圖的幾何綜合題是初中的重點(diǎn)題型，是以操作探究的形式，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力為命題出發(fā)點(diǎn). 對(duì)于該類題型需要充分理解題干的信息，然后利用尺規(guī)準(zhǔn)確作圖，同時(shí)關(guān)注該過程的幾何性質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為后續(xù)的解題條件.

[關(guān)鍵詞] 操作；尺規(guī)；幾何；性質(zhì)；提??；思想

以學(xué)生熟悉的四邊形或三角形為背景，結(jié)合實(shí)踐操作的幾何綜合題在近幾年中考和結(jié)業(yè)考試中出現(xiàn)的頻次很多，該題型起點(diǎn)低、操作性強(qiáng)，具有層次性和多樣性，對(duì)于學(xué)生的動(dòng)手操作和層次分析具有很好的考查作用，也是對(duì)“立足基礎(chǔ)，注重發(fā)展”教學(xué)理念的充分貫徹，對(duì)于該類典型問題的學(xué)習(xí)需要學(xué)生從實(shí)踐操作入手.

真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年山東濱州市中考第22題）如圖1所示，在？荀ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于BF的相同長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF為菱形.

（1）根據(jù)以上描述用尺規(guī)作圖，（保留作圖痕跡），并求證四邊形ABEF為菱形；

（2）若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE=4，求∠C的大小.

2. 試題解析

分析 （1）問考查動(dòng)手操作和幾何證明，首先需要根據(jù)題干信息準(zhǔn)確作圖，并把握作圖過程中所涉及的幾何性質(zhì)，求證四邊形ABEF是菱形，首先需要考慮證明ABEF是平行四邊形，然后設(shè)法補(bǔ)充條件BE=AF即可.

（2）求∠C的大小，可根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，將其轉(zhuǎn)化為求∠BAD，由于菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，可先求出∠DAE的大小，進(jìn)而求解∠C.

解答 （1）具體作圖過程如圖2，根據(jù)作圖過程可知AB=AF，AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠EAF. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD. 根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可知∠AEB=∠EAF，所以∠BAE=∠AEB，AB=BE，BE=AF. 所以四邊形ABEF是平行四邊形，也為菱形.

（2）連接BF，如圖3，因?yàn)樗倪呅蜛BEF為菱形，∠BAE=∠EAF，所以O(shè)A=AE=2. 因?yàn)榱庑蜛BEF的周長(zhǎng)為16，所以AF=4，cos∠OAF=. 所以∠OAF=30°，∠BAF=60°. 所以∠C=∠BAD=60°.

3. 試題點(diǎn)評(píng)

本題目為涉及實(shí)踐操作的幾何題，主要考查學(xué)生基本作圖能力和幾何性質(zhì)運(yùn)用能力. 第一問需要根據(jù)題目所述信息進(jìn)行繪圖，需要注意的是：要把握所構(gòu)圖形中的等邊、等角關(guān)系，這對(duì)于接下來的菱形證明極為重要，第二問則是在圖形為菱形基礎(chǔ)上開展的角度證明，依據(jù)相關(guān)幾何性質(zhì)即可求解. 所以涉及實(shí)踐操作的幾何綜合題，需要在精準(zhǔn)作圖的基礎(chǔ)上關(guān)注作圖過程中的幾何性質(zhì)，例如等角、等邊、平行、垂直等，然后結(jié)合性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

試題銜接，思路剖析

涉及實(shí)踐操作的幾何綜合題是對(duì)基本圖形的深入挖掘，尺規(guī)作圖的過程實(shí)際上也是對(duì)幾何基本性質(zhì)的探索過程，因此需要關(guān)注作圖的過程，注意從繁雜的幾何線條中捕捉基本圖形，提取幾何性質(zhì)，將其作為后續(xù)解題的關(guān)鍵條件，從而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化求解.

試題1 （2016年四川達(dá)州中考卷第20題）如圖4所示，在？荀ABCD中，AD>AB.

（1）實(shí)踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF=AB，連接EF；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

分析 （1）根據(jù)角平分線的作法即可輕易作出，在AD上截取AF=AB，連接EF，繪出圖形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線可得∠BAE=∠AEB，可證EB=AB，由（1）知AF=AB，可得BE=AF，從而可判斷出四邊形ABEF為菱形.

解答 （1）具體作圖如圖5所示.

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AD∥BC，∠DAE=∠AEB，AE平分∠BAD，∠BAE=∠DAE. 所以∠BAE=∠AEB. 所以EB=AB. 由（1）得AF=AB，所以BE=AF. 結(jié)合BE∥AF，所以四邊形ABEF是平行四邊形，因AF=AB，所以四邊形ABEF是菱形.

試題2 （2017年北京東城區(qū)八年級(jí)期末卷）如圖6所示，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接PB，PC.

①利用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形，不寫作法，保留作圖痕跡；

②求證：∠BPC=∠BAC.

（2）略.

分析 （1）①補(bǔ)全圖形，利用尺規(guī)作BC的垂直平分線，延長(zhǎng)DA，與其相交于點(diǎn)P；②求證∠BPC=∠BAC，可將其放置在△ACG和△BPG中，只需證明∠PBG=∠PCA即可. 截取AE上AF=AC，可證△PAC≌△PAF，然后利用三角形全等性質(zhì)，以及垂直平分線角的性質(zhì)來構(gòu)建∠PBG=∠PCA.

解答 （1）①具體作圖痕跡如圖7.

②在AE上截取AF=AC，連接PF，如圖8，由AD平分∠CAE，可得∠CAD=∠FAD，進(jìn)而可知∠CAP=∠FAP. 在△PAC和△PAF中，AP=AP，∠CAP=∠FAP，AF=AC， 可證△PAC≌△PAF（SAS），可得∠1=∠2，PF=PC，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，則PC=PB，所以PF=PB，可得∠1=∠3，所以∠2=∠3.在△ACG和△BPG中∠PGB=∠AGC，所以∠BPC=∠BAC.

上述題目均為幾何實(shí)踐操作的綜合題，解題過程均從尺規(guī)作圖開始，然后開展相關(guān)問題的探究，解題時(shí)都注意對(duì)作圖過程的性質(zhì)提取. 試題1關(guān)注作圖過程中的角平分線，然后利用等角關(guān)系來探究圖形形狀；試題2則是把握垂直平分線上點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，然后結(jié)合該性質(zhì)來轉(zhuǎn)化條件證明等角. 上述過程準(zhǔn)確作圖是解題的前提，性質(zhì)提取是解題的關(guān)鍵.

解后反思，教學(xué)思考

1. 關(guān)注尺規(guī)作圖，積累幾何性質(zhì)

上述均為涉及實(shí)踐操作的幾何綜合題，題設(shè)部分條件通過文字表述、作圖指示的方式給出，對(duì)信息的精準(zhǔn)理解、作圖過程的重點(diǎn)關(guān)注是解題的基礎(chǔ). 因此在教學(xué)中要重視學(xué)生的作圖訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生充分理解定理、命題的文字表述，結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生體驗(yàn)圖形推理的論證過程，對(duì)于作圖過程的幾何性質(zhì)提取有必要開展針對(duì)性訓(xùn)練，逐步幫助學(xué)生積累基本幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從繁雜圖形中提取信息的能力.

2. 自主探究問題，發(fā)展解題思維

知識(shí)的學(xué)習(xí)過程是活躍思維的過程，對(duì)于幾何題求解的關(guān)鍵在于信息的提取，例如上述操作題需要關(guān)注題干的有效信息，關(guān)注作圖過程的幾何性質(zhì)以及構(gòu)建基本圖形時(shí)的轉(zhuǎn)化，只有不斷地拓展解題思維，發(fā)現(xiàn)解題新的可能才能最終解決問題. 因此，教學(xué)中需要為學(xué)生提供一個(gè)有創(chuàng)造性、拓展性的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，思考分析問題，從而找到解決問題的方法，深化理解幾何知識(shí)的同時(shí)促進(jìn)思維的發(fā)展.

3. 聚焦基本圖形，學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化思想

幾何綜合題的求解過程離不開對(duì)基本圖形的性質(zhì)利用，因此解題的關(guān)鍵是圖形的構(gòu)建過程以及條件的轉(zhuǎn)化過程，構(gòu)造轉(zhuǎn)化是求解的必要途徑，學(xué)習(xí)和使用構(gòu)造思想和轉(zhuǎn)化思想對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的提升極為有利. 在教學(xué)中有必要跟進(jìn)學(xué)生的特殊三角形、平行四邊形等基本圖形的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究四邊形、平行四邊形、特殊平行四邊形的性質(zhì)及判定條件，聚焦基本圖形，通過典型例題的講解初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

寫在最后

涉及實(shí)踐操作的幾何綜合題，需要充分理解題干信息，結(jié)合所學(xué)方法準(zhǔn)確作圖，同時(shí)關(guān)注作圖過程中的幾何性質(zhì)，從繁雜的幾何圖形中提取關(guān)鍵信息，為接下來求解幾何問題打下基礎(chǔ)，對(duì)于涉及基本圖形的相關(guān)證明要充分利用幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化問題簡(jiǎn)便求解. 在教學(xué)中要重視幾何的尺規(guī)作圖，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和積累幾何的基本性質(zhì)；讓學(xué)生體驗(yàn)問題的探究過程，促進(jìn)學(xué)生解題思維的發(fā)展，關(guān)注基本圖形，學(xué)習(xí)解題思想，使學(xué)生的綜合能力得到發(fā)展.