劉柏森

(東北財經(jīng)大學統(tǒng)計學院，遼寧大連 116025)

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是高等理工、財經(jīng)院校各專業(yè)的核心基礎課之一，為許多后繼課程提供了必要的數(shù)學工具。與微積分、線性代數(shù)等確定性數(shù)學科目不同，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一種處理隨機現(xiàn)象的數(shù)學工具，是一門頗具綜合性與實用性的數(shù)學課程：一方面綜合運用微積分、線性代數(shù)等多門類數(shù)學知識，另一方面又與經(jīng)濟、管理、金融、保險、信息論等實踐學科緊密相連。但學生在初學時對隨機數(shù)學思維往往難以適應，普遍反映較難，不易入門。法國數(shù)學家Laplace有一句名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題”?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計”課程教學的成敗制約著一系列相關專業(yè)知識的學習效果，對大學整體教育水平具有關鍵的意義。

1 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學改革的具體內容和方法

在信息化時代，要想提高“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”(下稱概率統(tǒng)計)課程的教學效果，必須努力做好如下四個“結合”。

1.1 與統(tǒng)計軟件、仿真模擬相結合

隨著數(shù)學軟件及統(tǒng)計軟件的普及，特別是大數(shù)據(jù)時代的來臨，利用計算機執(zhí)行復雜的數(shù)據(jù)分析對復雜系統(tǒng)進行隨機模擬仿真顯得日益重要。概率統(tǒng)計教學必須順應時代需要，突破以往那種專注邏輯推理、只顧機械演算的舊路，通過Matlab、R、Python等計算機軟件將課程教學與統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析、計算機模擬緊密結合起來。

利用軟件進行描述統(tǒng)計、估計、檢驗、相關分析、回歸分析、方差分析等統(tǒng)計分析，如今已成為概率統(tǒng)計教學上的共識，具體操作項目也比較固定，此不贅述。與統(tǒng)計分析相比，仿真模擬在概率統(tǒng)計教學中的表現(xiàn)則相對靈活，沒有固定套路，卻大有用武之地，除了鍛煉數(shù)學實驗動手能力、提高學生的計算機編程能力之外，至少還有如下幾方面的價值：

1.1.1 動態(tài)演示

圖1 貝努里試驗的模擬圖

1.1.2 驗證結論

概率論中的許多重要結論都是可模擬印證的，例如正態(tài)分布、泊松分布、三大抽樣分布(卡方分布、Student-t分布和F分布)、中心極限定理等都有明確的形成機制，都可以用計算機模擬其生成過程。此外，傳統(tǒng)教學中的概率計算問題基本依靠純演繹推理，使概率計算成為一項極具挑戰(zhàn)性的工作，誰也不敢保證能正確地計算出一道復雜的古典概率題目。至于普通大眾，似是而非，丟三落四，被概率玩弄更是常有之事。于是，對復雜的概率計算，用仿真模擬方式評判計算結果的正確性就顯得非常必要了。最典型的例子，如蒲豐投針實驗、巴拿赫火柴盒問題、生日問題、信封匹配問題等著名問題，若借助模擬，動態(tài)印證理論結果，使學生體會到數(shù)學推理的力量，無疑會大大激發(fā)學生的學習熱情。再比如，統(tǒng)計理論中的置信區(qū)間、置信水平、假設檢驗、顯著性水平等概念，如果僅僅采用敘述和演繹的方式，學生會感覺到枯燥無味。若輔之以計算機模擬，通過仿真給學生以直觀的印象，能夠加深他們的理解。

1.1.3 探索研究

當系統(tǒng)過于復雜以至于難以找到明確的解析解時，用蒙特卡洛法求出問題的模擬近似解，或者從中得到意外啟發(fā)，不失為更切合實際的解決方案。這種模擬求解法，在概率統(tǒng)計教學中可以發(fā)揮意想不到的作用。例如，一般基于非正態(tài)總體的統(tǒng)計量的抽樣分布是極難求得精確分布的，但可用模擬的方式多次重復地從總體中抽樣，獲得統(tǒng)計量的大量觀測值，從而得到其近似分布。又如，熟知的某電視娛樂節(jié)目“汽車與山羊”問題的概率計算，與其各執(zhí)一詞、莫衷一是，不如借助計算機模擬給出最具說服力的答案。其實，模擬計算法的威力遠遠超乎我們的想象。諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者Roger B Myerson在其《經(jīng)濟決策的概率模型》一書中拋棄了抽象數(shù)學公式，自始至終都在傾力闡明如何用Excel電子表格直觀地處理各種復雜的概率決策問題。該書用模擬法巧妙計算概率的案例精彩紛呈，極具啟發(fā)性。與解析法相比，模擬計算法雖沒有精妙的解析演算，最后卻可以得到合乎事實的結論；雖然形式粗糙，卻有很好的普適性和穩(wěn)健性。

模擬仿真提高了學生對抽象結論的認識效率，拉近了學生與書本的距離，同時又體現(xiàn)了數(shù)學探索的精神軌跡，值得教師不斷地加以豐富和思考。

1.2 與其他數(shù)學分支緊密結合

整個數(shù)學學科的知識體系分支眾多，各分支彼此相通，相互間本來沒有絕對分明的界限。但由于開課順序、學科差異等原因，學生在頭腦中不自覺地形成了學科壁壘與思維壁壘，在學習概率統(tǒng)計時，莫名其妙地把微積分思維、線性代數(shù)思維自動封存起來，難于破繭。這種思維的保守和惰性非常不利于對數(shù)學知識的融會貫通，嚴重制約了概率統(tǒng)計的學習效果。因此，在教學過程中要刻意關注概率統(tǒng)計與其他數(shù)學分支尤其解析幾何、微積分、線性代數(shù)的緊密結合，既要提高學生綜合應用數(shù)學的能力，又要增進他們對各科知識的認識深度。

1.2.1 與微積分的聯(lián)系

1.2.2 與線性代數(shù)與矩陣理論的聯(lián)系

1.3 與實際應用相結合，多采用案例教學

論及實用性和趣味性，在三門大學數(shù)學基礎課中，概率統(tǒng)計穩(wěn)居第一，尤其在金融、管理、保險等領域有大量精彩的應用案例。在教學中，結合學生的專業(yè)特點，將一些有趣、有意義的應用案例融入到概率統(tǒng)計課程教學之中，勢必會顯著增強課程魅力，激發(fā)學生的求知熱情，提高概率統(tǒng)計知識的運用水平。

例如，在講授貝葉斯公式時，可以介紹抽樣理論中的敏感問題調查的沃納(Warner)模型。此模型的思想非常有趣，可以在課堂上進行互動實驗。還可以介紹風險決策理論中的貝葉斯決策，發(fā)現(xiàn)貝葉斯公式的應用竟然可以達到如此出神入化的境界。這兩個案例是關于貝葉斯公式的絕佳應用，特別值得推薦。

再如，假設檢驗的一個基本思想是“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”。學生在學習假設檢驗的理論和方法時，往往感覺思路比較混亂，對原理難以理解。然而對其基本思想，我們在日常生活中已經(jīng)不知不覺地應用上了。如果能夠從生活中挑選一些常見的案例來闡述假設檢驗的基本思想，則會讓學生很容易掌握其原理和檢驗流程。

1.4 與互聯(lián)網(wǎng)絡相結合，引入“互聯(lián)網(wǎng)+”模式

在新時代的要求下，教師應積極采取措施，引導學生在計算機網(wǎng)絡上查詢資料，擴大知識面，養(yǎng)成探索和創(chuàng)新的能力，對所學的統(tǒng)計概率知識進行思考和運用，積極主動地學習；教師也需要利用既有的網(wǎng)絡資源，學習和探索國內外比較成功的概率統(tǒng)計教學方法，擴大自己的知識面，使學生加強對概率統(tǒng)計知識的理解，養(yǎng)成好的學習習慣。還可以創(chuàng)建概率統(tǒng)計課程網(wǎng)頁，設置資料鏈接，建立小型題庫，讓學生進行練習，加深他們對所學內容的理解。此外，還可以建立微信群、微博式討論空間，增進師生間的互動與交流，由課堂延伸到課下，由校內延伸到校外，充分利用移動互聯(lián)網(wǎng)的優(yōu)勢，讓學習討論無時、無處不在。

2 結語

概率統(tǒng)計的教學不應限于書本知識傳授，不能自限于循規(guī)蹈矩的標準教材，不能拘束于一門一類的狹隘壁壘，要積極地將概率統(tǒng)計課置身于軟件模擬、數(shù)學思維和精彩案例的源頭活水中,充分展示數(shù)學精神，調動學生的學習熱情，逐步邁向素質培養(yǎng)的最高目標。

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