李 婷，王仕成，張金生

(火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

0 引言

作為一種自主導(dǎo)航方式，地磁導(dǎo)航具有全天時、全天候、抗干擾能力強的特點。其基本原理是將磁傳感器安裝于載體上，載體運動時實時測量磁場數(shù)據(jù)，同時與載體計算機中的地磁基準圖進行比對和匹配，以確定飛行載體的位置[1]。高精度的磁場測量是地磁導(dǎo)航應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一。

文獻[2]指出測磁儀器的性能是制約地磁導(dǎo)航發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一，要重點加強磁敏感元件產(chǎn)生的磁干擾特性研究、干擾磁場補償和消除技術(shù)研究，從而保證磁場測量精度不受外界因素的影響，為高精度導(dǎo)航解算奠定基礎(chǔ)。

磁場測量誤差來自兩個方面：一是磁力儀誤差，包括零偏誤差、敏感度誤差和三軸不正交誤差；二是周圍環(huán)境的誤差，包括載體中硬磁材料、軟磁材料以及電子設(shè)備等帶來的硬磁誤差、軟磁誤差以及難以建模的隨機干擾場誤差。因此，為了提高測量精度，有必要從磁力儀誤差標定和載體干擾補償兩個方面共同努力。

1 磁場測量誤差補償問題的研究現(xiàn)狀

1.1 航磁測量補償研究現(xiàn)狀

為了減少飛機載體對磁力儀測量的干擾，國內(nèi)外學(xué)者及企業(yè)公司在航磁補償領(lǐng)域掀起了一陣熱潮[3]。

美國學(xué)者TOLLES[4]提出了Tolles-Lawson 方程，分析了載體干擾磁場，包括恒定磁場、感應(yīng)磁場和渦流磁場。20世紀60年代，加拿大蒙特利爾CAE公司推出了半自動補償器，對上述3種磁場進行補償，耗時約30～45 min；1970年，美國學(xué)者PASSIER提出了一種新形式的補償系統(tǒng)，可以補償100 nT的干擾磁場，精度達0.1 nT，可應(yīng)用于飛機PR-141；1980年，蘇聯(lián)學(xué)者VATSURO提出了基于Tolles-Lawson方程的磁補償方法，并在AN-2飛機上進行了試驗。2006年，安大略公司在AARC500自動補償儀的基礎(chǔ)上研發(fā)了同時擁有數(shù)據(jù)采集與補償功能的DAARC500系統(tǒng)，可提供最終精確的磁場數(shù)據(jù)，功能強大，抗干擾能力強，且能夠以低成本獲取高質(zhì)量數(shù)據(jù)；加拿大Pico Envirotec公司研發(fā)了能夠在飛行結(jié)束后獲得磁補償系數(shù)的軟件包PEIcomp，實現(xiàn)了在磁測過程中對機身的補償；加拿大Scott Hogg & Associates地球物理軟件公司研發(fā)了一套航空磁測補償軟件CMAG4，可以同步處理4個通道磁力儀的輸入，達到離線補償?shù)男Ч?，并且已?jīng)成功應(yīng)用于多種固定翼和直升機的測量系統(tǒng)。

國內(nèi)的航磁補償工作始于20世紀60年代。402型磁探儀裝載于AN-2飛機時出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)向差，引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注并開始對該誤差進行探究。1965年，卓松年利用泊松方程對飛機磁干擾場的數(shù)學(xué)表達式進行求解，奠定了國內(nèi)磁補償?shù)睦碚摶A(chǔ)。1974年，在研制出九項電子補償器后，某些研究機構(gòu)聯(lián)合研制出CBK-1型電子補償器；1977年某部門成功研制出了DBQ-1型九項電子補償器，這兩種電子補償器均屬于穩(wěn)態(tài)補償。1982年，某部門成功研制了渦流磁場補償器，與DBQ-1共同對飛機上的固定磁場、感應(yīng)磁場和渦流磁場進行補償，精度可達2 nT，該方法一直沿用至今。

1.2 磁場測量誤差常用補償措施

1.2.1 硬件補償

硬件補償通常采用硬件電路產(chǎn)生新的磁場來抵消干擾磁場，或?qū)⑤d體置于零磁空間中，或利用數(shù)字低通濾波器濾除噪聲和干擾信號。硬件補償方法不能解決動態(tài)環(huán)境下的磁測誤差補償。

1.2.2 軟件補償

軟件補償又稱軟補償，包括利用歸一化算法消除隨機噪聲，對包括磁力儀標定在內(nèi)的環(huán)境磁測誤差建模，完成對磁力儀校正和載體軟磁干擾、硬磁干擾等綜合干擾補償，而且能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)環(huán)境下的磁場補償，提高動態(tài)補償精度。

2 磁測誤差補償模型

誤差建模過程中，存在著未被充分考慮的干擾項，比如由于安裝工藝的限制導(dǎo)致的安裝誤差角，載體運動引起的渦流干擾等。由磁場的疊加原理可知，若某些誤差的施加性質(zhì)等同于誤差模型中已經(jīng)存在的誤差參量，那么未被考慮的誤差項也會通過模型得到校正，三軸磁力儀誤差與載體磁場干擾以相同的形式作用于磁力儀的輸出，國外學(xué)者將磁力儀的標定與測量誤差的補償過程統(tǒng)一建模為磁力儀標定問題。

2.1 十二常系數(shù)補償模型

十二常系數(shù)補償模型是針對捷聯(lián)磁力儀的磁羅差理論建立的磁測補償模型[5]，即

(1)

(2)

(3)

文獻[6]基于磁偶極子磁場分布理論，推導(dǎo)了捷聯(lián)磁力儀所在位置的磁場組成，并最終簡化為十二常系數(shù)模型進行求解。

該模型需要借助慣導(dǎo)設(shè)備提供載體姿態(tài)信息，且需已知地理坐標系下的磁場分量，工作量大大增加，特別是實際應(yīng)用中當載體較大時，將載體置于4種方位姿態(tài)校正難度很大。

2.2 Tolles-Lawson模型

以飛行器上捷聯(lián)三軸磁力儀探頭為坐標原點，建立如圖1所示的坐標系。X軸與飛行器縱軸平行，向前為正；Y軸與飛行器橫軸平行，向右為正；Z軸與飛行器的縱軸垂直，向下為正；H0為地理坐標系下的地磁矢量，Hd為干擾場矢量，X0，Y0和Z0分別為X，Y，Z與H0的夾角。

圖1 捷聯(lián)磁力儀載體坐標系模型Fig.1 Body coordinate system model

設(shè)u1=cosX0，u2=cosY0，u3=cosZ0，則載體干擾磁場可表示為

(4)

Tolles-Lawson模型可以實現(xiàn)動態(tài)環(huán)境下的磁場干擾補償，模型精確，但是實驗過程復(fù)雜，需已知體坐標系與當?shù)氐乩碜鴺讼抵g的夾角(方向余弦角)，需要外部設(shè)備的輔助。

2.3 姿態(tài)獨立標定模型

由于目前地磁導(dǎo)航的匹配參量為地磁總場而不是地磁矢量，因此利用體坐標系下的補償模型就能滿足要求，且簡單易行。利用總場信息對磁力儀進行標定無需姿態(tài)輔助信息，被稱為“姿態(tài)獨立標定”。標定模型如圖2所示，通過最小化傳感器輸出值與真實磁場值之差的平方實現(xiàn)磁力儀的標定，即

(5)

(6)

(7)

將式(6)平方并展開整理得AX=b，k為數(shù)據(jù)個數(shù)，如式(8)所示。

。(8)

圖2 傳感器標定模型Fig.2 Magnetometer calibration model

文獻[7]指出，總零偏誤差包括磁力儀的零偏及載體的硬磁誤差；總刻度因子誤差包括磁力儀的三軸非正交誤差和載體的軟磁誤差；總非正交誤差源自磁力儀的制造工藝誤差、安裝誤差及載體的軟磁誤差；因此，式(5)所表示的模型可以有效地表達出多種干擾因素對理想輸出值的影響。

由式(5)、式(6)可知，此模型只需已知磁力儀輸出三分量以及精確的地磁總場值，標定結(jié)果為地磁場在體坐標系下的投影，標定過程簡單，但無法得到磁場在地理坐標系下的投影，對于式(5)的標定模型，代價函數(shù)是非線性的，存在多個極值。

2.4 橢球(圓)擬合模型

美國學(xué)者ELKAIM[8]，GEBRE[9]等提出了二維磁場測量軌跡的橢圓方法，文獻[10]根據(jù)橢圓假設(shè)的思想，提出了帶有橢圓約束的最小二乘擬合法來確保所擬合的圓錐曲線為橢圓，但是橢圓擬合將載體的運動限制在二維平面內(nèi)，針對此問題，文獻[11]提出了基于橢球約束的三維磁場補償，利用帶橢球約束的最小二乘法保證擬合的曲面為橢球；文獻[12]在分析了磁測信息誤差來源的基礎(chǔ)上對橢球擬合法在磁力儀校正方面的應(yīng)用進行了研究。

理想情況下，標定后，磁力儀輸出的總場值與真實地磁總場值相等，則有

(9)

為了避免開根號運算，將等式兩邊進行平方操作

(10)

將式(10)展開并整理，可得

(11)

(12)

s.t.ξ≠0，αJ-I2>0

當α=4時，擬合得到橢圓方程系數(shù)。

橢球擬合模型是建立在橢球假設(shè)的前提下，補償精度取決于所擬合的橢球參數(shù)的精度，補償精度較高，但是對于數(shù)據(jù)采集時載體的姿態(tài)要求也較高，如果磁力儀三分量測量值無法擬合成一個橢球，則無法使用此模型。

3 磁測誤差補償方法

磁測誤差補償問題實際就是從三軸磁力儀的測量值中確定補償參數(shù)，進而對測量值進行補償，從而得到準確的磁場值，本質(zhì)是參數(shù)估計問題，補償精度與求解的參數(shù)精度息息相關(guān)。

針對以上幾種模型，國內(nèi)外眾多學(xué)者展開了探討研究。

針對Tolles-Lawson模型，文獻[13]提出了一種基于小信號的磁場補償方法，要求載體沿直線做小幅度機動，具有一定的局限性，且當載體進入新的航向時，需要重新求解模型參數(shù)；文獻[14]在此模型基礎(chǔ)上考慮了地磁梯度的影響，提出了一種折線飛行學(xué)習(xí)方法，飛行器的背景磁場補償精度較高；文獻[15]提出了將嶺估計的預(yù)測殘差平方和(PRESS)引入模型的求解方法，通過計算時間序列的預(yù)測殘差平方和來選擇最小預(yù)測殘差平方和意義下的最優(yōu)嶺參數(shù)。針對“姿態(tài)獨立標定”模型，也就是“模標定”模型，眾多學(xué)者展開了研究。

文獻[16]分別采用信賴域法和EKF方法進行參數(shù)估計，驗證信賴域法處理非線性問題的優(yōu)越性。針對式(8)，最小二乘算法及其相關(guān)算法相繼被提出。文獻[17-18]利用最小二乘算法實現(xiàn)了線性化模型的參數(shù)求解；文獻[19]采用自適應(yīng)最小二乘算法進行參數(shù)估計；文獻[20]采用遞歸約束總體最小二乘(RTLS)算法，在遞歸更新階段避免了矩陣求逆的操作，使得數(shù)值求解過程更加穩(wěn)定。

總體最小二乘算法[21]考慮了線性方程兩端均存在的噪聲誤差，進一步提高了補償?shù)臏蚀_性。總體最小二乘算法適用于處理方程兩端存在誤差的情況，但是無法解決磁場數(shù)據(jù)不充分引起的病態(tài)問題。

針對橢圓(球)擬合模型，文獻[22]針對系數(shù)矩陣導(dǎo)致算法不穩(wěn)定的問題，提出了改進的最小二乘橢圓擬合算法；文獻[23]采用兩步估計和基于圓約束的磁力儀校正方法。

文獻[24]提出了智能優(yōu)化算法對磁力儀進行標定。利用統(tǒng)計類優(yōu)化方法，對非線性觀測方程直接進行求解，且對初始值沒有要求，但存在“早熟”現(xiàn)象。文獻[25]提出了伸展粒子群優(yōu)化的磁測誤差補償方法，克服了粒子群算法過早收斂的缺陷，取得了更高的精度和更優(yōu)的魯棒性。

4 磁測誤差補償?shù)年P(guān)鍵問題

4.1 高精度補償模型的建立

2節(jié)詳細介紹了目前研究的幾種主流模型，每個模型都有不同的適用條件，經(jīng)典的Tolles-Lawson(T-L)模型不僅包含磁力儀的三軸非正交誤差、刻度因子誤差和零偏誤差，而且考慮了飛行載體引入的軟磁干擾、硬磁干擾和渦流磁場干擾，磁力儀、慣導(dǎo)系統(tǒng)與載體間的非對準誤差也可以同時被校正，是一種精度較高的磁干擾補償模型，因此有必要對T-L模型的求解方法繼續(xù)探究。首先可以采用Ansoft maxwell軟件實現(xiàn)動態(tài)環(huán)境下的磁場特性的研究，然后利用外場試驗驗證。

4.2 最優(yōu)采樣點的編排優(yōu)化

模標定方法要求捷聯(lián)磁力儀能夠在歐拉空間全方位轉(zhuǎn)動，然而實際測量中，除了部分小型載體外，絕大多數(shù)載體無法實現(xiàn)，這就意味著磁力儀只能輸出部分空間姿態(tài)分布的數(shù)據(jù)，有可能導(dǎo)致測量數(shù)據(jù)的空間分布不合理。因此研究最優(yōu)采樣點的選取對于磁測誤差補償具有重要的意義。

目前，國內(nèi)在此方面的研究較少，已有成果包括：文獻[6]將均勻優(yōu)化設(shè)計引入十二常系數(shù)模型中，解決了復(fù)雜模型難以通過常規(guī)方法求全局最優(yōu)的問題；文獻[26]采用D優(yōu)化方法，提出了一種在轉(zhuǎn)動空間有限的情況下磁力儀的優(yōu)化編排方法。

上述方法改善了空間數(shù)據(jù)的分布情況，達到了激勵磁場測量誤差的目的。

4.3 病態(tài)問題

采用傳統(tǒng)最小二乘算法及其相關(guān)改進方法進行參數(shù)估計，是基于隨機誤差分布為高斯分布或者沒有考慮到觀測方程的病態(tài)問題。

奇異值分解在求解病態(tài)線性方程組時具有很高的穩(wěn)定性[27]，但是需要對其奇異值進行截斷處理。文獻[28-29]嘗試將Tikhonov正則化方法與總體最小二乘算法結(jié)合，通過截斷較小奇異值對應(yīng)的解部分以增強解的穩(wěn)定性；文獻[30]提出了加阻尼截斷奇異值分解法；文獻[31]以陸用車載導(dǎo)航為應(yīng)用背景，提出了截斷總體最小二乘技術(shù)對病態(tài)的磁力儀標定問題進行求解。

針對迭代法解非線性最小二乘問題的病態(tài)問題，文獻[32]采用了阻尼最小二乘進行參數(shù)估計；文獻[33]提出了基于有限脈沖響應(yīng)模型的磁補償方法；文獻[34]提出了截斷總體最小二乘算法。上述方法可以有效改善磁測誤差補償?shù)牟B(tài)問題，達到了良好的補償效果。

此外，可以借鑒大地測量中對于不適定問題的處理方法，嘗試將其應(yīng)用于磁測誤差補償?shù)牟B(tài)問題。

5 未來展望

通過以上模型可知，磁測誤差補償問題可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計問題，參數(shù)估計精度直接影響補償效果，為提高參數(shù)估計精度可從以下幾個方面著手。

1) 精確的參數(shù)模型。

不同的模型具有不同的適用條件。根據(jù)已有實驗條件，選擇不同的補償模型可以得到不同的補償精度。尋找精確模型而不是簡化模型的參數(shù)求解方法，以模擬真實作戰(zhàn)環(huán)境下磁場測量誤差補償。

2) 有效的測量噪聲抑制方法。

測量噪聲是影響參數(shù)估計精度的重要因素之一。對于非線性參數(shù)模型，通常將其進行線性化處理，噪聲特性很可能隨之發(fā)生變化，由此增加了抑制噪聲的難度。最佳方式是采用非線性優(yōu)化策略直接對模型進行求解，但到目前為止，鮮有相關(guān)的報道。

3) 優(yōu)化觀測數(shù)據(jù)的空間分布。

為了求解模型參數(shù)，需要已知載體在不同姿態(tài)下的歐拉角，但實際應(yīng)用中，大型載體由于機動性能及控制系統(tǒng)的限制，難以實現(xiàn)。因此，在有限的范圍內(nèi)，如何優(yōu)化載體的姿態(tài)，利用有代表性的姿態(tài)數(shù)據(jù)獲取更高精度的補償效果是今后需要繼續(xù)研究的方向。

磁測誤差補償工作是一個關(guān)鍵而又有挑戰(zhàn)性的工作，但受到軟件、硬件、資金等條件的制約，如何構(gòu)建載體工作的真實環(huán)境，模擬載體真正的工作狀態(tài)是下一步需要研究的問題。

此外，應(yīng)大力發(fā)展地磁矢量測量誤差補償技術(shù)。地磁場是一個信息豐富的矢量場，受限于目前磁場尋北技術(shù)，難以提取地理坐標系下的地磁矢量進行補償。因此，有必要在已有技術(shù)的基礎(chǔ)上，研究地磁矢量補償，為地磁導(dǎo)航矢量匹配奠定基礎(chǔ)。

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