浙江省杭州市淳安縣大墅鎮(zhèn)初級中學(xué) 占憲輝

一、問題的提出

要深化落實新課程的標(biāo)準(zhǔn)，作為新時期的教師要學(xué)會利用好教材的資源，理解其本質(zhì)，并對資源進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲酝癸@其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

初中數(shù)學(xué)中，研究線段之間的數(shù)量關(guān)系往往要借助全等三角形或相似三角形來進(jìn)行，而全等三角形的構(gòu)建往往是借助圖形的變換而得來，其中包括旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、軸對稱變換等等，本文就借教材中的一道習(xí)題通過適當(dāng)?shù)母木帲癸@旋轉(zhuǎn)變換在探究線段之間的關(guān)系，圖形之間關(guān)系中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【原題呈現(xiàn)】

如圖,E是正方形ABCD的AD

邊上一點,延長BA至點F,使BF＝DE,連結(jié)CE,CF.能通過旋轉(zhuǎn)△DEC得到△FBC嗎?請說明理由.

解答：能.理由:由已知,BC=CD, BF＝DE,∴Rt△FBC≌Rt△EDC.∴∠DCE=∠BCF.∴∠FCE=∠DCB,CF=CE.所以把△DEC繞點C按順時方向旋轉(zhuǎn)90°時,CE與CF重合,DC與BC重合,也就是得△FBC.

通過解答讓學(xué)生明確三角形旋轉(zhuǎn)變換的條件：一是有旋轉(zhuǎn)中心，二是各部分按同一方向轉(zhuǎn)動同一角度。但是如果這道題目就到這里為止,顯然沒有發(fā)揮出它應(yīng)有的價值,特別是發(fā)揮旋轉(zhuǎn)變換在解決三角形和四邊形中線段之間關(guān)系中的作用,筆者根據(jù)有關(guān)習(xí)題改編的方法,通過通過將條件和結(jié)論互換、增加條件、減少條件、改變圖形等一系列改編,進(jìn)行橫向的拓展和縱向延伸.

二、對該題的改編

（一）結(jié)論和條件互換——用好旋轉(zhuǎn)三角形的性質(zhì)

【改編1】

如圖1，將Rt△DEC旋轉(zhuǎn)繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到Rt△FBC，延長DE和FB交于點A，你能發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請說明理由.

解題分析：在圖形沒有改變的條件下，顯然學(xué)生能夠猜想到這是一個正方形，而且根據(jù)正方形的判定方法，顯然只要先證明它是矩形再根據(jù)鄰邊相等，就可以得出。而這些結(jié)論的得出都需要利用好旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).（具體證明過程略）

（二）增加條件——抓準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)的三角形

【改編2】

如圖2，在正方形ABCD中，點E，G分別在邊DA、BA上，且∠ECG=45°.

(1)將△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，試分析BG與DE的和與EG有什么數(shù)量關(guān)系？

(2)如圖3，若點E在AD的延長線上，G在BA的延長線上，∠ECG=45°，則BG、DE、EG三條線段還有原先的數(shù)量關(guān)系嗎？如果有加以說明，如果沒有，請寫出新的數(shù)量關(guān)系.

解題分析：第（1）小題由∠E C G=45°可知△FCG≌△ECG,從而得到EG=FG，而FG=BG+BF=BG+ED,因此BG+ED=EG .

第（2）小題，只是點E的位置改變到AD的延長線上，仍可以將△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG,仍可得到EG=FG，而此時FG=BG－BF=BG－ED，即EG= BG－ED.

（三）減少條件——構(gòu)造旋轉(zhuǎn)三角形

若將圖1中的正方形部分隱藏掉.將原來的三角形的旋轉(zhuǎn)變成了一條線段的旋轉(zhuǎn)，這樣雖然從圖形上看是簡單了，但對于線段之間數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)卻增加了很大的難度，因此在解題中可以通過旋轉(zhuǎn)將原圖形補(bǔ)全來解.

【改編3】

如圖6，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC+CD＝10，∠A＝∠C= 90°，求四邊形ABCD的面積.

【改編4】

如圖7，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四邊形ABCD的面積.

解題分析：引申3可以過點A作BC及CD所在的直線的垂線，垂足為E、F（如圖8），由AB＝AD，∠A＝∠C= 90°可以證明△ABE≌△ADF，因此四邊形的面積轉(zhuǎn)化為正方形AECF的面積，再根據(jù)BC+CD＝10，可得正方形的邊長為5，面積為25.

引申4可以延長CD至B′使得DB′=BC連結(jié)AB′（如圖9），顯然△ABC≌△ADB,所以AC=AB′，由∠ACD＝60°可得△A B′C為等邊三角形，從而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△A B′C的面積，由AC＝1，可以求出△A B′C的面積為

（四）改變圖形——重構(gòu)旋轉(zhuǎn)三角形

通過改編5已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)不一定要在正方形中進(jìn)行，正三角形中也經(jīng)常可以借助旋轉(zhuǎn)來解決，進(jìn)一步可以探究出只要符合一定的條件均可以借助旋轉(zhuǎn)來分析線段之間的數(shù)量及位置關(guān)系。

【改編5】

如圖10，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長.

解法分析：此題的解法較多，但不管什么辦法都是借助三角形的旋轉(zhuǎn)將兩條已知線段和所要求的線段長放在一個直角三角形中利用勾股定理來進(jìn)行計算，求得CD=4.現(xiàn)將幾種利用旋轉(zhuǎn)的解法圖形呈現(xiàn)如下（具體解題過程略）：

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心動力，沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”反思可以深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題的本質(zhì)、溝通知識間的聯(lián)系、促進(jìn)知識的同化和遷移、進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，是提高學(xué)生解題能力的重要途徑。